[논문 리뷰] Theory and Inference for a Class of Observation-driven Models with Application to Time Series of Counts

Richard A. Davis, Liu Heng|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 17.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 12인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 일파라미터 지수족 조건부 분포를 갖는 관측 기반 시계열 모델에 대한 일반 이론을 개발하며, 조건부 평균 및 관측 과정에 대해 기하적 모멘트 수축성과 절대 정규성을 확립한다. 약간의 조건 하에서 최대우도추정량의 점근정규성을 증명하여, 계수 데이터의 선형 및 비선형 동역학에 대한 추론을 가능하게 한다. 응용 사례로 고빈도 주식 거래 및 극단적 수익률 시점 분석을 포함한다.

ABSTRACT

This paper studies theory and inference related to a class of time series models that incorporates nonlinear dynamics. It is assumed that the observations follow a one-parameter exponential family of distributions given an accompanying process that evolves as a function of lagged observations. We employ an iterated random function approach and a special coupling technique to show that, under suitable conditions on the parameter space, the conditional mean process is a geometric moment contracting Markov chain and that the observation process is absolutely regular with geometrically decaying coefficients. Moreover the asymptotic theory of the maximum likelihood estimates of the parameters is established under some mild assumptions. These models are applied to two examples; the first is the number of transactions per minute of Ericsson stock and the second is related to return times of extreme events of Goldman Sachs Group stock.

연구 동기 및 목표

• 일파라미터 지수족 조건부 분포를 갖는 관측 기반 모델의 광범위한 클래스에 대해 강한 혼합성과 기하적 모멘트 수축 성질을 확립하기 위해.
• 약한 정규성 조건 하에서 최대우도추정에 대한 엄밀한 점근 이론을 개발하기 위해.
• 기존의 포아송 INGARCH 모델을 넘어서 일반적인 비선형 동역학과 비포아송 분포로의 결과 확장을 위해.
• 금융 및 고빈도 거래 분야에서의 실제 데이터 응용을 통해 프레임워크의 적용 가능성을 입증하기 위해.
• 선형 사양을 포함한 계수 관측 기반 모델의 추론을 위한 통합 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 조건부 평균 과정을 마코프 체인으로 간주하고, 반복 랜덤 함수(IRF) 이론을 사용하여 안정성 분석을 수행한다.
• 특수한 쌍용 기법을 적용하여 관측 과정의 기하적 모멘트 수축성과 절대 정규성을 증명한다.
• 조건부 평균 $X_t = g_\theta(X_{t-1}, Y_{t-1})$ 가 동역학을 이끄는 재귀적 공식화를 사용하며, $Y_t$ 는 일파라미터 지수족 조건부 분포를 갖는다.
• 마팅게일 추정방정식과 매개변수 공간에 대한 정규성 조건을 사용하여 최대우도추정량의 점근분포를 도출한다.
• 조건부 평균 과정의 동일성이 매개변수 벡터의 동일성으로 이어짐을 보여 이론적 식별성을 확보한다.
• 변형 기법과 모멘트 경계를 사용하여 최대우도추정량의 점근정규성을 확보하기 위한 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측 기반 계수 모델의 조건부 평균 과정이 어떤 조건에서 기하적 모멘트 수축성과 절대 정규성을 갖는가?
• RQ2 지수족 조건부 분포를 갖는 일반 관측 기반 모델에 대해 최대우도추정량의 점근정규성이 어떻게 확립될 수 있는가?
• RQ3 비선형 동역학 사양은 모델의 혼합성 및 정상성 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 모델의 에르고딕성과 기하적 혼합성을 보장하기 위해 매개변수 공간에 필요한 충분조건는 무엇인가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 포아송 INGARCH 모델을 초월하여 다른 분포와 비선형 동역학으로 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• INGARCH(2,2) 모델에서 조건부 평균 과정은 $\alpha_1 + \alpha_2 + \beta < 1$ 조건 하에서 기하적 모멘트 수축 마코프 체인이다.
• 관측 과정은 기하적으로 감쇠하는 계수를 갖는 절대 정규성을 보이며, 이는 강한 혼합성과 에르고딕성을 보장한다.
• 약한 정규성 조건 하에서 최대우도추정량의 점근정규성이 확립되어 타당한 추론이 가능하다.
• INGARCH(2,2) 모델의 경우, 기하적 모멘트 수축성은 $\alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2 < 1$ 일 때 성립하여 안정성을 보장한다.
• 모델은 식별 가능하며, 조건부 평균 과정의 동일성이 매개변수 벡터의 동일성으로 이어진다.
• 고빈도 주식 데이터에 대한 응용 사례를 통해 선형 및 비선형 동역학 모두에서 시간적 의존성을 효과적으로 포착함을 입증하였다.