[논문 리뷰] Theory of Quantum Circuits with Abelian Symmetries

Iman Marvian|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 어떤 대칭적인 단위가 k-로컬 게이트로 구현될 수 있는지 분석하고, Abelian 전역 대칭을 보존하며 준-보편성을 도입하며, 비-아벨리안 경우와 다른 동등성 및 제약을 보인다는 것을 보인다.

ABSTRACT

Quantum circuits with gates (local unitaries) respecting a global symmetry have broad applications in quantum information science and related fields, such as condensed matter theory and quantum thermodynamics. However, despite their widespread use, fundamental properties of such circuits are not well-understood. Recently, it was found that generic unitaries respecting a global symmetry cannot be realized, even approximately, using gates that respect the same symmetry. This observation raises important open questions: What unitary transformations can be realized with k-local gates that respect a global symmetry? In other words, in the presence of a global symmetry, how does the locality of interactions constrain the possible time evolution of a composite system? In this work, we address these questions for the case of Abelian (commutative) symmetries and develop constructive methods for synthesizing circuits with such symmetries. Remarkably, as a corollary, we find that, while the locality of interactions still imposes additional constraints on realizable unitaries, certain restrictions observed in the case of non-Abelian symmetries do not apply to circuits with Abelian symmetries. For instance, in circuits with a general non-Abelian symmetry such as SU($d$), the unitary realized in a subspace with one irreducible representation (charge) of the symmetry dictates the realized unitaries in multiple other sectors with inequivalent representations of the symmetry. Furthermore, in certain sectors, rather than all unitaries respecting the symmetry, the realizable unitaries are the symplectic or orthogonal subgroups of this group. We prove that none of these restrictions appears in the case of Abelian symmetries. This result suggests that global non-Abelian symmetries may affect the thermalization of quantum systems in ways not possible under Abelian symmetries.

연구 동기 및 목표

• 전 composite 양자 시스템에서 전역 Abelian 대칭이 시간 진화를 어떻게 제약하는지 이해를 촉진한다.
• Abelian 대칭 하에서 k-로컬 대칭 유니타리들이 생성하는 유니타리 그룹을 특성화한다.
• Abelian 대칭을 갖는 회로를 합성하기 위한 구성 가능한 방법을 개발한다.
• Abelian 대칭 제약이 realizable 유니타리에 미치는 비-아벨리안 대칭 제약과의 차이점을 명확히 한다.

제안 방법

• 전역 G-불변 표현을 가지는 n 큐다이츠의 대칭 양자 회로를 정의한다.
• k-로컬 G-불변 유니타리들이 Type I 위상 제약을 갖는 Lie 그룹을 생성함을 보인다 (정리 1).
• 대칭 대수의 준단순 부분에서의 보편성을 준보편성으로 정의한다 (식 4).
• 준보편성, 추가 보존 가능 관측치 부재, 그리고 전하 구간에 걸친 전이성 간의 등가성을 증명한다 (정리 2' 및 정리 2).
• 단일 보조 큐딧을 사용하여 준보편성을 완전한 보편성으로 끌어올리는 구성적 메커니즘을 제공한다 (섹션 VI).
• Abelian 결과를 비아벨리안 경우와 대조하여, Abelian 그룹에서 Type III/IV 제약의 부재를 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전역 Abelian 대칭을 존중하는 k-로컬 게이트로 어떤 유니타리 변환이 구현될 수 있는가?
• RQ2 양자 회로에서 Abelian 대칭과 비-아벨리안 대칭 사이에 지역성 제약이 다르게 작용하는가?
• RQ3 Abelian 대칭 하에서 k-로컬 대칭 유니타리가 준보편성 또는 보편성을 가질 수 있으며, 이를 제약하는 추가 관측치는 무엇인가?
• RQ4 Abelian 설정에서 보조 자원을 사용해 준보편성을 보편성으로 끌어올릴 수 있는가?
• RQ5 전하 구간 내 기저 원소의 전이성 특성이 realizable 유니타리에 어떻게 relate 되는가?

주요 결과

• k-로컬 G-불변 유니타리들은 Abelian G에 대해 준보편적이며, 추가 보존 관측치 부재와 총 전하의 같은 기저 원소 간의 전이성의 충족과 같은 등가성(정리 2'의 등가성)이 필요충족시 필요충족조건이다.
• k ≥ 2인 Abelian 그룹의 경우, 대칭 합사 공간이 불변 블록으로 분해되고 부분공간에서 SU(…) 작용을 허용하는 경우 준보편성이 성립한다(정리 3).
• Abelian의 경우 유일한 장애물은 Type I(상대 위상 제약) 및 Type II(추가 보존 가능 관측치)이며, 단 과 없이 관측치 부재 조건 하에서는 Type II 제약을 피할 수 있다(정리 2 참조).
• 유한 Abelian 그룹은 k ≥ min(|G|, 2)에서 준보편성을 보장한다(코릴러리 4).
• 단일 보조 큐딧으로 Abelian 대칭에 대해 준보편성을 보편성으로 끌어올릴 수 있다(섹션 VI).
• 비아벨리안 대칭은 추가적인 Type III/IV 제약과 구간 간의 상호 의존성을 부과할 수 있는 반면, Abelian 경우에는 그렇지 않다(섹션 IV의 논의).