[논문 리뷰] There are Significantly More Nonnegative Polynomials than Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|arXiv (Cornell University)|2003. 09. 07.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정된 짝수 차수 $2k \geq 4$ 에 대해, $n \to \infty$ 일 때 $n$ 개의 변수에서의 음이 아닌 동차 다항식의 수는 제곱합의 수보다 훨씬 많음을 보여준다. 음이 아닌 다항식의 원뿔과 제곱합의 원뿔의 컴acts기반의 체적 비율을, $r^{2k}$ 와 수직인 차수-$2k$ 형식의 공간에서 사용하여, 이 체적 비율을 유클리드 차원의 역수로 거듭제곱했을 때 $n^{(k-1)/2}$ 의 속도로 증가함을 증명함으로써, 고차원에서 제곱합은 점점 무시할 만큼 작아짐을 보여준다.

ABSTRACT

We investigate the quantitative relationship between nonnegative polynomials and sums of squares of polynomials. We show that if the degree is fixed and the number of variables grows then there are significantly more nonnegative polynomials than sums of squares. More specifically, we take compact bases of the cone of nonnegative polynomials and the cone of sums of squares and derive bounds for the volumes of the bases. If the degree is greater than 2 then we show that the ratio of the volumes of the bases, raised to the power reciprocal to the ambient dimension, tends to 0 as the number of variables tends to infinity.

연구 동기 및 목표

• 정량적 제곱합 문제를 해결하기 위해: 음이 아닌 다항식이 제곱합보다 현저히 더 많을지 여쭤보기.
• 고차원 공간에서 음이 아닌 다항식의 원뿔과 제곱합의 원뿔의 상대적인 크기를 수량화하기.
• 변수의 수 $n$ 이 크고 차수 $2k$ 가 고정일 때, 제곱합이 음이 아닌 다항식의 일정한 비율을 차지하지 않는다는 것을 보여주기.
• 공간 $P_{n,2k}$ 에서 음이 아닌 다항식과 제곱합의 원뿔에 대한 컴팩트 기반의 점점 무시할 수 없는 체적 추정치를 제공하기.

제안 방법

• 음이 아닌 다항식의 원뿔과 제곱합의 원뿔의 절단을 각각 $r^{2k} = (x_1^2 + \cdots + x_n^2)^k$ 에 의한 이동을 통해 정의된 컴팩트 볼록체 $\widetilde{C}$ 와 $\widetilde{Sq}$ 를 정의한다.
• 공간 $M_{n,2k}$ 에서 단위구 위에서 적분이 0인 차수-$2k$ 형식의 기하적 구조를 정의하기 위해 $L^p$-노름과 내적 $\langle f,g \rangle = \int_{S^{n-1}} fg \, d\sigma$ 를 사용한다.
• 게이지 함수 $G_C(f) = |\min_{v \in S^{n-1}} f(v)|$ 와 쌍대 적분을 사용하여 $\widetilde{C}$ 의 체적에 하한을 설정한다.
• 제곱합의 체적에 상한을 설정하기 위해 평균 너비 $W_{\widetilde{Sq}}$ 를 이중 노름 $||f||_{sq} = \max_{g \in S_{P_{n,k}}} |\langle f, g^2 \rangle|$ 를 사용하여 bound하고, 헬더 부등식과 바르비노크의 부등식을 적용한다.
• 기능해석학의 결과, 특히 두이나이코에트세아 부등식 $||g^2||_2 \leq 4^{2k}$ 와 감마 함수의 渐近적 성질을 사용하여 이차형식 $H_f(g) = \langle f, g^2 \rangle$ 의 $L^{2D_{n,k}}$ 노름을 bound한다.
• 우리소프의 부등식을 적용하여 체적 비율과 평균 너비를 연결함으로써 최종적인 체적 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 공간에서 음이 아닌 다항식은 제곱합보다 현저히 더 많을까?
• RQ2 변수의 수 $n$ 이 증가함에 따라 음이 아닌 다항식의 원뿔 내에서 제곱합의 원뿔의 점점 무시할 수 없는 상대 체적은 어떻게 되는가?
• RQ3 고정된 $k \geq 2$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때, 음이 아닌 다항식과 제곱합의 체적 비율이 0에서 멀리 떨어져 있는가?
• RQ4 고차원에서 음이 아닌 다항식의 원뿔과 제곱합의 원뿔의 기하학적 구조는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 고차원 동차다항식 공간에서 체적 비율을 통해 제곱합의 희소성을 수량화할 수 있는가?

주요 결과

• 체적 비율 $\left(\frac{\text{Vol}\,\widetilde{C}}{\text{Vol}\,\widetilde{Sq}}\right)^{1/D_M}$ 는 $c(k) n^{(k-1)/2}$ 의 속도로 증가하며, 여기서 $c(k)$ 는 $k$ 에만 의존하는 상수이다. 이는 고정된 $k \geq 2$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 음이 아닌 다항식이 제곱합보다 훨씬 많다는 것을 증명한다.
• $k=1$ 일 때 $\widetilde{C} = \widetilde{Sq}$ 이므로 비율은 일정하다. 그러나 $k \geq 2$ 일 때는 비율이 무한대로 간다. 이는 제곱합이 점점 무시할 수 없게 된다는 것을 보여준다.
• $\widetilde{C}$ 의 정규화된 체적에 대한 하한은 $\frac{1}{2\sqrt{4k+2}} n^{-1/2}$ 이며, 이는 고차원에서 음이 아닌 다항식의 원뿔이 크다는 것을 나타낸다.
• $\widetilde{Sq}$ 의 정규화된 체적에 대한 상한은 $\frac{4^{2k}(2k)!\sqrt{24}}{k!} n^{-k/2}$ 이며, 이는 $k \geq 2$ 에서 $n$ 에 대해 다항식적으로 감소하므로 고차원에서 제곱합이 희귀함을 보여준다.
• 이 결과는 음이 아닌 다항식이 제곱합으로 표현되지 않는다는 것이 고차원에서 특이한 현상이 아니라 일반적인 현상임을 시사하며, 저차원 예제에서의 직관과 모순된다.
• 계산 복잡도의 함의로서, 고차원에서 비음성 검사를 제곱합 검사로 단순화하는 것은 전체 원뿔을 잘 근사하지 못하며, 제곱합의 집합은 전체 원뿔에 비해 점점 무시할 수 없을 정도로 작아진다.