[논문 리뷰] Thermalisation of a quantum system from first principles

Grégoire Ithier, Florent Benaych-Georges|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 환경의 초기 열역학적 평형을 가정하지 않고도, 큰 닫힌 복합계에서 유니터리 시간 발전에 의해 양자 시스템의 열역학적 평형이 보편적으로 나타남을 보여준다. 측도 농축과 바르지 않은 해밀토니안 및 복합 해밀토니안 고유상태 간의 오버랩 통계를 사용하여 일반화된 캐논ical 분포함수를 유도하고, 장기적으로 부분계의 감소 밀도 행렬이 캐논ical 상태로 수렴함을 보이며, 일반적인 거시적 조건 하에서 볼츠만 분포를 복원한다.

ABSTRACT

Why is thermalisation a universal phenomenon? How does a quantum system reach thermodynamical equilibrium? These questions are not new, dating even from the very birth of quantum theory and have been the subject of a renewed interest over the two last decades (see for instance the review in Eisert et al, Nature Physics 2015). In this work, we propose a universal model demonstrating that thermalisation of a small quantum system is an emergent property of the unitary evolution under a Schrödinger equation of a larger composite system, whose initial state can be arbitrary. We show that the origin of universality lies in the phenomenon of 'measure concentration', which provides self-averaging properties for the reduced density matrix characterizing the state of the small subsystem. Using our framework, we focus on the asymptotic state at long times and consider its stationary properties. In typical macroscopic conditions, we recover the canonical state and the Boltzmann distribution well known from statistical thermodynamics. This findings lead us to propose an alternative and more general definition of the canonical partition function which also allow us to describe non thermal stationary states.

연구 동기 및 목표

• 환경의 초기 열역학적 평형을 가정하지 않고 양자 열역학적 평형을 제1원리적으로 유도하는 것.
• 에르고딕성과 굴곡 처리를 측도 농축으로 대체하여 양자 통계역학의 기초적 문제를 해결하는 것.
• 열역학적 및 비열역학적 정상 상태를 모두 기술할 수 있는 일반화된 캐논ical 분포함수를 도출하는 것.
• 고차원 힐베르트 공간에서의 일반성에 기반해 부분계의 감소 밀도 행렬이 자가 평균화되어 캐논ical 상태로 수렴함을 보이는 것.

제안 방법

• 소형 양자계 S와 환경 E를 상호작용하는 닫힌 복합계로 모델링하고, 총 해밀토니안 H = H_s + H_e + W로 기술한다.
• 유니터리 시간 발전 U_t = exp(-iHt/ħ)를 사용해 총 밀도 행렬 ϱ(t)의 시간 발전을 기술한다.
• 감소 밀도 행렬 ϱ_s(t) = Tr_E[ϱ(t)]를 계산하여 부분계의 상태를 기술한다.
• 측도 농축을 적용해 ϱ_s(t)가 초기 조건에 관계없이 일반적인 행동으로 농축됨을 보인다.
• 바르지 않은 해밀토니안 (H_s + H_e)과 복합 해밀토니안 (H_s + H_e + W)의 고유벡터 간 오버랩 통계를 분석하여 자가 평균화 성질을 도출한다.
• 환경과 복합계의 상태 밀도 비율에서 일반화된 캐논ical 분포함수를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환경의 초기 열역학적 평형을 가정하지 않고도 양자 시스템의 열역학적 평형을 유니터리 발전에서 도출할 수 있는가?
• RQ2 측도 농축은 부분계 감소 밀도 행렬의 일반성 발생에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 임의의 초기 조건을 가진 닫힌 양자계에서 캐논ical 집합을 제1원리로 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 비열역학적 정상 상태를 포함하는 일반화된 캐논ical 분포함수의 형태는 무엇인가?
• RQ5 환경과 복합계의 상태 밀도 비율은 부분계의 정상 상태를 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 고차원 힐베르트 공간에서 측도 농축으로 인해 부분계의 감소 밀도 행렬 ϱ_s(t)가 일반적인 값으로 농축되어 자가 평균화가 보장된다.
• ϱ_s에 대한 상호작용 W에 대한 기울기의 노름은 √(2τ² dim H_s)로 유계이므로 안정성과 농축이 입증된다.
• 환경과 복합계의 상태 밀도 비율에서 일반화된 캐논ical 분포함수를 유도하였다.
• 일반적인 거시적 조건 하에서 부분계의 정상 상태는 캐논ical 집합으로 수렴하며, 볼츠만 분포를 복원한다.
• 환경의 초기 상태에 대한 열역학적 평형을 가정하지 않아도 이론이 성립한다.
• 이 틀은 일반화된 분포함수를 통해 열역학적 및 비열역학적 정상 상태를 모두 기술할 수 있다.