[논문 리뷰] Thermalization of isolated quantum systems

Sergei Khlebnikov, Martı́n Kruczenski|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 17.

Quantum many-body systems참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고립된 양자 시스템에서 에르고딕성 열역학가설(ETH)을 수치적으로 검증하며, 열역학적 평형이 전체 힐베르트 공간이 아닌 저차원의 크릴로프 부분공간 내에서 발생함을 보여준다. 2차원 격자 위의 하드코어 보존에서 ETH가 이 부분공간 내에서 성립함을 입증하고, 열역학적 행동의 기원을 얽힘 엔트로피 증가와 연결하며, 양자 중력 및 블랙홀 물리학에 대한 함의를 제시한다.

ABSTRACT

Understanding the evolution towards thermal equilibrium of an isolated quantum system is at the foundation of statistical mechanics and a subject of interest in such diverse areas as cold atom physics or the quantum mechanics of black holes. Since a pure state can never evolve into a thermal density matrix, the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) has been put forward by Deutsch and Srednicki as a way to explain this apparent thermalization, similarly to what the ergodic theorem does in classical mechanics. In this paper this hypothesis is tested numerically. First, it is observed that thermalization happens in a subspace of states (the Krylov subspace) with dimension much smaller than that of the total Hilbert space. We check numerically the validity of ETH in such a subspace, for a system of hard core bosons on a two-dimensional lattice. We then discuss how well the eigenstates of the Hamiltonian projected on the Krylov subspace represent the true eigenstates. This discussion is aided by bringing the projected Hamiltonian to the tridiagonal form and interpreting it as an Anderson localization problem for a finite one-dimensional chain. We also consider thermalization of a subsystem and argue that generation of a large entanglement entropy can lead to a thermal density matrix for the subsystem well before the whole system thermalizes. Finally, we comment on possible implications of ETH in quantum gravity.

연구 동기 및 목표

• 고립된 양자 시스템이 열역학적 평형에 도달하는 조건을 조사하며, 특히 열역학가설(ETH)이 유한한 부분공간 내에서 성립하는지 여부를 밝히는 것.
• 열역학적 평형이 전체 힐베르트 공간이 아닌 저차원의 Krylov 부분공간에서 발생하는지 확인하여 계산 복잡도를 줄이는 것.
• Krylov 부분공간에 투영된 해밀토니안과 1차원 유한 체인에서의 앤더슨 국소화 사이의 관계를 조사하는 것.
• 열역학적 평형 이전에 부분계의 열역학적 평형을 이끄는 얽힘 엔트로피의 역할을 탐색하는 것.
• ETH가 양자 중력에 미치는 함의, 특히 블랙홀 미세상태와 고전적 계량성의 관점에서 평가하는 것.

제안 방법

• 초기 상태가 좁은 에너지 슈퍼포지션 상태인 2차원 격자 위의 하드코어 보존 시스템의 시간 진화를 수치적으로 시뮬레이션한다.
• 해밀토니안을 반복적으로 적용하여 초기 상태의 스트레스를 생성함으로써 Krylov 부분공간을 구성하며, 힐베르트 공간 차원을 크게 줄인다.
• 해밀토니안과 관측 가능량 연산자를 Krylov 부분공간에 투영하고, 행렬 요소를 분석하여 ETH 조건을 검증한다: 에너지에 대해 부드럽게 변화하는 대각선 요소와 작은 비대각선 요소.
• 투영된 해밀토니안을 삼중대각형 형태로 변환하여 이를 1차원 앤더슨 국소화 문제로 모델링한다.
• 시간에 따른 부분계 간의 이항 얽힘 엔트로피 $ S_{AB}(t) $ 를 계산하여 열역학적 평형의 시작을 추적한다.
• 관측 가능량의 평균 값의 시간 진화를 ETH가 예측하는 열역학적 기대값과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립된 양자 시스템의 Krylov 부분공간 내에서 열역학가설(ETH)이 전체 힐베르트 공간이 아닌 곳에서 성립하는가?
• RQ2 열역학적 평형 과정 중 부분계 간의 얽힘 엔트로피는 어떻게 변화하며, 이는 전반적 평형 이전의 부분계 열역학적 평형을 신호로 줄 수 있는가?
• RQ3 Krylov 부분공간에 투영된 해밀토니안은 어느 정도 1차원 앤더슨 국소화 문제와 유사한가?
• RQ4 ETH는 블랙홀의 고전적 계량성과 같은 고전적 성질이 양자 미세상태에서 어떻게 나타나는지 설명할 수 있는가?
• RQ5 ETH가 유사한 에너지를 가진 모든 미세상태에서 '열역학적' 연산자의 기대값이 동일하다고 한다면, 계량성이 양자 중력에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 열역학적 평형은 전체 힐베르트 공간보다 훨씬 작은 차원의 Krylov 부분공간 내에서 발생하며, ETH의 효율적 수치적 검증을 가능하게 한다.
• 하드코어 보존이 2차원 격자에 존재할 때 Krylov 부분공간 내에서 ETH가 수치적으로 검증되었으며, 관측 가능량의 대각선 행렬 요소가 에너지에 대해 부드럽게 변화함을 보였다.
• Krylov 부분공간 내에서 관측 가능량의 비대각선 요소는 작아서 시간 평균 기대값이 초기 상태에 관계없이 열역학적 값으로 수렴함을 보장한다.
• 얽힘 엔트로피 $ S_{AB}(t) $ 는 처음에는 $ S_{AB}(t) \simeq -(Δ E)^2 t^2 \ln(t^2/t_0^2) $ 와 같이 제곱적으로 증가하고, 이후 선형적으로 증가하여 열역학적 한계에 도달한 후 전반적 평형에 가까워지면서 약간 감소한다.
• 부분계 열역학적 평형은 전반적 평형 이전에 발생할 수 있으며, 이는 얽힘 엔트로피 증가에 의해 이끌린다. 이는 얽힘이 열역학적 행동의 핵심 전구조임을 시사한다.
• ETH는 블랙홀 계량성이 다른 열역학적 연산자와 마찬가지로 유사 에너지를 가진 모든 미세상태에서 동일한 기대값을 가져야 한다고 함의하며, 이는 고전적 계량성이 기본적인 것이 아니라 통계적 성질로서의 잠재적 임계성임을 시사한다.