[논문 리뷰] Thermalization/Relaxation in integrable and free field theories: an Operator Thermalization Hypothesis

Philippe Sabella-Garnier, Koenraad Schalm외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 06.

Quantum many-body systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유 또는 해밀토니안 양자장 이론에서 특정 복합 연산자가 보존량이 존재하는 동안에도 열적화될 수 있는 방식을 설명하는 '연산자 열적화 가설'을 제안한다. 후퇴된 두점 함수를 분석함으로써, 연산자의 행렬 요소가 특정 감쇠 조건을 만족할 경우 열적화가 발생함을 보여주며, 이는 임계 횡방향 자기장 이징 모델과 같은 시스템에서의 모순된 현상들을 해소한다. 이 모델에서 정점 연산자는 상관 함수에서 지수 감쇠를 보이기 때문이다.

ABSTRACT

Free or integrable theories are usually considered to be too constrained to thermalize. For example, the retarded two-point function of a free field, even in a thermal state, does not decay to zero at long times. On the other hand, the magnetic susceptibility of the critical transverse field Ising is known to thermalize, even though that theory can be mapped by a Jordan-Wigner transformation to that of free fermions. We reconcile these two statements by clarifying under which conditions conserved charges can prevent relaxation at the level of linear response and how such obstruction can be overcome. In particular, we give a necessary condition for the decay of retarded Green's functions. We give explicit examples of composite operators in free theories that nevertheless satisfy that condition and therefore do thermalize. We call this phenomenon the Operator Thermalization Hypothesis as a converse to the Eigenstate Thermalization Hypothesis.

연구 동기 및 목표

• 자유 또는 해밀토니안 양자장 이론에서 무한히 많은 보존량을 지닌다 해도 선형 반응에서 열적화가 일어날 수 있다는 명백한 모순을 해소하기 위해.
• 산란이 없을 경우에도 후퇴된 그린 함수가 지수적으로 감쇠하는 데 필요한 조건을 규명하기 위해.
• 2차원 CFT의 정점 연산자나 횡방향 자기장 이징 모델에서의 자화율과 같은 특정 복합 연산자가 이론의 자유/페르미온적 성격에도 불구하고 열적화될 수 있음을 보여주기 위해.
• 보존량이 존재하는 시스템에 적용 가능한, 엔젤테이트 열적화 가설(ETH)의 역을 제안하는 '연산자 열적화 가설'을 제안하기 위해.

제안 방법

• 열 상태에서 헤르미트 연산자 𝒪의 후퇴된 두점 함수를 분석한다. 정의: GR(x−x′,t−t′)=−iΘ(t−t′)⟨[𝒪(x,t),𝒪(x′,t′)]⟩β.
• 장시간에 걸쳐 GR의 지수 감쇠 조건이 열적화를 정의함을 적용한다. 즉, 시스템이 초기 외란을 '잊는'다.
• 코herent 상태 기법과 캄프-하우스도르프 공식을 사용하여 자유 보존 CFT에서 정점 연산자의 행렬 요소를 계산한다. 특히 ⟨:e^{−iξϕ(x,t)+iξϕ(0,0)}:⟩β에 초점을 맞춘다.
• 장 ϕ의 모드 전개를 수행하고, 항등식 1/(e^{βx}−1)=∑_{m=1}^∞ e^{−βxm}를 사용해 열 기대값을 계산한다.
• 모드에 대한 합을 평가하고 L→∞ 근사를 취하여, 시간이 길어질 경우 상관 함수의 장시간 행동을 쌍곡함수로 표현한다.
• 최종 결과를 유도한다: ⟨:e^{−iξϕ(x,t)+iξϕ(0,0)}:⟩β ∼ [π(t−x)/β sinh(π(t−x)/β)]^{ξ²/4π} × [π(t+x)/β sinh(π(t+x)/β)]^{ξ²/4π}, 이는 |t|→∞에서 지수 감쇠를 보임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 또는 해밀토니안 장 이론에서 보존량이 존재함에도 불구하고, 후퇴된 그린 함수가 어떤 조건에서 지수적으로 감쇠할 수 있는가?
• RQ2 자기장 이징 모델의 임계 상태에서 자화율은 왜 자유 페르미온으로 매핑되지만 여전히 열적화되는가?
• RQ3 자유 장 이론에서 복합 연산자가 열적화 행동를 보일 수 있는가? 만약 그렇다면 그 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 연산자 열적화 가설은 엔젤테이트 열적화 가설(ETH)과 어떻게 다를까? 또 어떻게 상호보완적인가?
• RQ5 연산자 구조(예: 정점 연산자)는 비상호작용 시스템에서 열적화를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 2차원 자유 보존 CFT에서 정점 연산자의 후퇴된 두점 함수는 장시간에 걸쳐 지수 감쇠함을 보이며, 이는 열적화를 시사한다.
• 장시간 행동은 sinh(π(t±x)/β)를 포함하는 항들의 곱으로 주어지며, |t|→∞에서 지수 감쇠를 보인다.
• 임계 횡방향 자기장 이징 모델에서 자화율의 열적화는 복합 연산자가 열적화를 위한 감쇠 조건을 만족하기 때문에 설명된다.
• 열적화 조건은 보존량의 부재가 아니라, 에너지 기저에서 연산자의 행렬 요소의 구조에 달려 있다.
• 연산자 열적화 가설은 보존량이 존재하는 통합 시스템에서, 복합 연산자 구조 덕분에 기존의 '이완 없음' 이론이 실패하는 경우에도 열적화 메커니즘을 제공한다.
• 유도 과정은 자유 이론에서도 특정 연산자가 위상 분산를 통해 초기 조건을 잊고, 상관 함수가 지수 감쇠함을 보여준다.