[논문 리뷰] Thermo-visco-elaticity for models with growth conditions in Orlicz spaces

Filip Z. Klawe|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 오르리치 공간에서 온도에 의존하는 점탄성 거동를 갖는 비정적 열점탄성 모델에 대한 약한 해의 존재성을 확립한다. 이 모델은 $x$-의존성 $N$-함수를 통해 비균질 재료 성질을 포함한다. 분석은 모듈러 수렴, 단조성 방법 및 얀 측도 이론을 활용하여 비표준 성장 조건을 다루며, 이는 이전의 레베그 공간에서의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We study a quasi-static evolution of thermo-visco-elastic model. We act with external forces on non-homogeneous material body, which is a subject of our research. Such action may cause deformation of this body and may change its temperature. Mechanical part of the model contains two kinds of deformation: elastic and visco-elastic. Mechanical deformation is coupled with the temperature and they may influence each other. Since constitutive function on evolution of visco-elastic deformation depends on temperature, the visco-elastic properties of material also depend on temperature. We consider the thermodynamically complete model related to hardening rule with growth condition in generalized Orlicz spaces. We provide the proof of existence of solutions for such class of models.

연구 동기 및 목표

• 레베그 공간을 초월하여 $x$-의존성 $N$-함수를 갖는 일반화된 오르리치 공간으로 열점탄성 모델의 해 존재 이론을 확장한다.
• 기계적 및 열적 반응이 공간적으로 변하는 성장 조건을 갖는 비균질 재료를 모델링한다.
• 열역학적으로 일관된 프레임워크 내에서 온도에 의존하는 점탄성 응력 진화를 위한 열역학적 구성법칙을 통합한다.
• 일반적인 성장 조건 하에서 $N$-함수의 성장에 상하한이 없더라도 약한 해의 존재를 확립한다.
• 노튼-호프 모델을 일반화하여 $L^p$ 공간보다 더 빠른 성장률을 允許하며, 프란틀-뢰스 행동에 가까워지게 한다.

제안 방법

• 운동량 균형, 에너지 균형 및 온도에 의존하는 구성법칙을 갖는 점탄성 응력 진화를 연계한 비정적 열점탄성 시스템을 수립한다.
• 공간에 따라 변화하는 기계적 및 열적 반응을 모델링하기 위해 $x$-의존성 $N$-함수를 갖는 일반화된 오르리치 공간 $L_M$을 사용한다.
• 유한차원 부분공간에서 근사해를 구성하기 위해 갈레르킨 방법을 적용한다.
• 스트레스 및 변형률 텐서를 포함하는 비선형 항에서의 극한을 취하기 위해 단조성 및 재규격화 기법을 활용한다.
• 비표준 성장 조건을 다루기 위해 $L_M$ 및 $L_{M^*}$ 공간에서의 모듈러 수렴과 약한 컴actness를 사용한다.
• 열 방정식에서 약하게 수렴하는 수열의 곱의 극한을 특성화하기 위해 얀 측도 이론을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 오르리치 공간에서 점탄성 성장 조건을 갖는 열점탄성 모델에 대해 약한 해의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 공간에 따라 변화하는 $N$-함수를 갖는 비균질 재료 거동을 열역학적으로 일관된 모델에 엄밀히 통합할 수 있는가?
• RQ3 비선형 편미분방정식의 맥락에서 $N$-함수의 성장에 상하한이 없을 경우, 이를 다루기 위해 필요한 기법은 무엇인가?
• RQ4 일반적인 성장 조건 하에서 온도와 점탄성 응력 진화 간의 결합 관계가 극한 과정에서 어떻게 유지될 수 있는가?
• RQ5 기존의 $L^p$ 도구가 실패할 경우, 열 방정식의 비선형 항의 수렴을 얀 측도를 통해 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 일반화된 오르리치 공간에서 온도에 의존하는 점탄성 응력 진화를 갖는 비정적 열점탄성 시스템에 대한 약한 해의 존재를 증명한다.
• 이 존재 결과는 $N$-함수의 성장에 상하한이 없더라도 일반적인 성장 조건 하에서 성립하며, 이는 이전의 레베그 공간에서의 결과를 확장한다.
• $x$-의존성 $N$-함수에 기인한 비선형성을 제어하기 위해 $L_M$ 및 $L_{M^*}$ 공간에서의 모듈러 수렴을 사용한다.
• 열 방정식에서 $\boldsymbol{T}^d : \boldsymbol{G}(\theta, \boldsymbol{T}^d)$ 형태의 곱항의 정확한 극한을 확보하기 위해 얀 측도를 활용한다.
• 갈레르킨 근사와 재규격화 및 단조성 방법의 조합을 통해 비선형 시스템에서의 극한 취득이 가능하다.
• 공간 변수 $x$에 따라 $N$-함수와 응력 연산자 $\boldsymbol{D}$가 변화할 수 있도록 하여 비균질 재료를 수용할 수 있는 프레임워크를 제공한다.