[논문 리뷰] Thermodynamic formalism and the entropy at infinity of the geodesic flow

Aníbal Velozo|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 기존의 기호 동역학 및 컴acts성 기반 방법이 실패하는 비콤팩트이고, 비율이 양수로 끼워진 음의 곡률을 가진 다성들에 대해 열역학 형식을 확장한다. 여기서는 두 가지 종류의 무한대에서의 엔트로피—위상수학적 및 측도론적—을 도입하고 분석하여 이들이 동일하다는 것을 증명하며, 엔트로피 사상의 상부 반연속성과의 연관성을 규명한다. 주요 기여는 균일 연속적이고 강한 정상적 재방문 성질을 갖는 포텐셜에 대해 평형 상태의 존재성과 안정성을 확립하는 것으로, 이는 강한 정상적 재방문 성질을 갖는 다성들에 대한 주지오드레오그램 정리까지 포함한다.

ABSTRACT

In this paper we study the ergodic theory and thermodynamic formalism of the geodesic flow on non-compact pinched negatively curved manifolds. We consider two notions of entropy at infinity, the topological and the measure theoretic entropy at infinity. We prove that both notions coincide and we relate this quantity with the upper semicontinuity of the entropy map. This relationship was already studied in [RV] for geometrically finite manifolds; in this paper we extend such results to arbitrary pinched negatively curved manifolds. We obtain several applications to the existence and stability of equilibrium states. Our approach has the advantage to include certain uniformly continous potentials, a situation that can not be studied through the methods from [PPS]. Of particular importance are potentials that vanish at infinity and those that satisfy a critical gap condition, that is, strongly positive recurrent potentials. We also prove some equidistribution and counting results for closed geodesics (beyond the geometrically finite case). In particular we obtain a version of the prime geodesic theorem for strongly positive recurrent manifolds.

연구 동기 및 목표

• 기존의 기호 동역학 및 컴팩트성 기반 방법이 실패하는 비콤팩트이고, 비율이 양수로 끼워진 음의 곡률을 가진 다성들에 대해 열역학 형식을 확장한다.
• 무한대에서의 두 가지 엔트로피 개념—위상수학적 및 측도론적—을 정의하고 분석하며, 이들이 동치임을 증명한다.
• 무한대에서의 엔트로피가 무한대에서의 엔트로피 사상의 상부 반연속성과 어떻게 관련되어 있는지 규명하며, 기하학적으로 유한한 다성들에서의 결과를 임의의 비율이 양수로 끼워진 음의 곡률을 가진 다성들로 일반화한다.
• 균일 연속적이고 강한 정상적 재방문 성질을 갖는 포텐셜에 대해 평형 상태의 존재성과 안정성을 확립한다. 이는 무한대에서 0이 되는 포텐셜까지 포함한다.
• 폐쇄 지오데식의 등분포 및 수세기 결과를 일반화하며, 강한 정상적 재방문 성질을 갖는 다성들에 대해 주지오드레오그램 정리를 증명한다.

제안 방법

• 비콤팩트 지오데식 흐름에 대한 핵심 불변량으로서, 무한대에서의 위상수학적 엔트로피 δ∞ 를 도입한다.
• 확률 측도의 흐릿한 수렴과 약한* 수렴을 이용하여 점근적 엔트로피 행동을 분석하고, 무한대에서의 엔트로피를 정의한다.
• 수렴하는 확률 측도 수열에 沿한 엔트로피에 대한 limsup 부등식을 통해 위상수학적 엔트로피와 측도론적 엔트로피의 동치성을 확립한다.
• 기하학적으로 유한한 다성들을 일반화하는 클래스를 정의하기 위해 강한 정상적 재방문(Strong Positive Recurrence, SPR) 개념을 적용한다.
• 이산군의 슈로티 기반 조합을 이용하여, 지오데식 길이의 다중성을 무한히 갖는 SPR 다성들의 예를 구성한다.
• 결과 [ST, DOP, RV]를 활용하여 슈로티 기반 조합의 δ∞ 를 계산하고, 임계 지수 비교를 통해 SPR 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트이고, 비율이 양수로 끼워진 음의 곡률을 가진 다성들에서 지오데식 흐름에 대해 위상수학적 및 측도론적 엔트로피 개념이 무한대에서 일치하는가?
• RQ2 비콤팩트 설정에서 무한대에서의 엔트로피는 엔트로피 사상의 상부 반연속성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 홀더 연속성의 결여 조건 하에서 균일 연속 포텐셜에 대해 평형 상태를 보장할 수 있는가?
• RQ4 강한 정상적 재방문 성질이 평형 상태의 존재성과 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기하학적으로 유한한 다성들 이상으로 폐쇄 지오데식의 수세기 결과를 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 위상수학적 엔트로피와 측도론적 엔트로피가 무한대에서 일치하며, 이 공통 값은 흐릿하게 수렴하는 확률 측도 수열에 沿한 엔트로피의 limsup 와 같다.
• 기하학적으로 유한한 경우, 무한대에서의 엔트로피 δ∞ 는 파라볼릭 부분군의 임계 지수와 같으며, 일반적으로는 모든 파라볼릭 부분군의 임계 지수 중 최댓값과 같다.
• 강한 정상적 재방문(SPR) 다성들에 대해 최대 엔트로피 측도가 존재하며, 이는 상관관계의 지수적 감쇠를 암시하여 폐쇄 지오데식의 등분포를 유도한다.
• SPR 다성들에 대해 주지오드레오그램 정리를 증명하여, 고전적 결과를 기하학적으로 유한한 설정을 초월해 일반화한다.
• 무한히 많은 동일한 길이의 지오데식을 갖는 SPR 하이퍼볼릭 3-다성의 구성은, 수세기 결과에 대해 컴팩트 집합과의 교차 조건이 필수적임을 보여준다.
• 임계 지수 δΓ 는 δΓ,∞ = max{δΓ₁,∞, δΓ₂,∞} = 1 < δΓ₂ ≤ δΓ 를 만족하며, 이는 결과로 얻어진 다성 M 이 무한체적이고, 유한 생성되지 않은 기본군을 갖는 SPR 임을 확인한다.