[논문 리뷰] Thermodynamic limit for directed polymers and stationary solutions of the Burgers equation

Yuri Bakhtin, Liying Li|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 17.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한체적 거시역학적 한계에서 방향성 고무줄이 무작위 환경에 존재할 경우의 무한체적 급여 측도의 존재성과 유일성을 확립하며, 그 수렴성을 증명한다. 또한 점성 버거스 방정식에 무작위 외력이 작용할 경우 폴리머 측도를 통해 정적인 해를 구성하고, 동일한 공간 평균을 가진 초기 조건에 대해 당김-어트랙터를 통해 '한 힘-한 해' 원리를 입증한다.

ABSTRACT

The first goal of this paper is to prove multiple asymptotic results for a time-discrete and space-continuous polymer model of a random walk in a random potential. These results include: existence of deterministic free energy density in the infinite volume limit for every fixed asymptotic slope; concentration inequalities for free energy implying a bound on its fluctuation exponent; straightness estimates implying a bound on the transversal fluctuation exponent. The culmination of this program is almost sure existence and uniqueness of polymer measures on one-sided infinite paths with given endpoint and slope, and interpretation of these infinite-volume Gibbs measures as thermodynamic limits. Moreover, we prove that marginals of polymer measures with the same slope and different endpoints are asymptotic to each other. The second goal of the paper is to develop ergodic theory of the Burgers equation with positive viscosity and random kick forcing on the real line without any compactness assumptions. Namely, we prove a One Force -- One Solution principle, using the infinite volume polymer measures to construct a family of stationary global solutions for this system, and proving that each of those solutions is a one-point pullback attractor on the initial conditions with the same spatial average. This provides a natural extension of the same program realized for the inviscid Burgers equation with the help of action minimizers that can be viewed as zero temperature limits of polymer measures.

연구 동기 및 목표

• 고정된 점점 경사가 있는 방향성 고무줄에 대해 무한체적 급여 측도의 존재성과 유일성을 확립하기.
• 집중도 및 직선성 추정을 증명하여 자유 에너지 및 횡방향 변동 지수를 제한하기.
• 폴리머 측도를 사용하여 점성 버거스 방정식에 무작위 외력이 작용할 경우 '한 힘-한 해' 원리를 확장하기.
• 같은 기울기를 가지지만 다른 종점을 가진 폴리머 측도가 무한체적 한계에서 점점 수렴하는 성질을 보여주기.
• 스토크래틱 제어 및 페인만-카크 방법을 사용하여 무한체적 가정 없이 실수선 위에서 점성 버거스 방정식의 에르고딕 이론을 개발하기.

제안 방법

• 무작위 잠재력을 가진 시간 이산, 공간 연속 폴리머 모델을 사용하여 무한체적 한계에서의 점점 자유 에너지 밀도를 유도하기.
• 집중도 부등식과 대규모 편차 기법을 적용하여 자유 에너지의 변동 지수를 제한하기.
• 경로 국소화 및 분할 함수 분석을 기반으로 한 직선성 추정을 사용하여 횡방향 변동을 제한하기.
• 한쪽 끝이 무한한 경로 위에서 유한체적 급여 측도의 거의 확실한 극한으로서 무한체적 폴리머 측도를 구성하기.
• 홉프-콜 변환을 사용하여 점성 하미튼-자코비-벨만 방정식과 버거스 방정식을 연결하기.
• 페인만-카크 공식과 스토크래틱 제어 이론을 적용하여 해를 표현하고, 에르고딕성 및 당김-어트랙터 성질을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 점점 경사가 있는 방향성 고무줄에 대해 무한체적 급여 측도가 존재하며, 그 유일성이 보장되는가?
• RQ2 열역학적 한계에서 폴리머 측도의 변동성 및 횡방향 국소화 성질은 무엇인가?
• RQ3 무작위 외력이 작용하는 점성 버거스 방정식의 정적인 전역 해를 폴리머 측도를 통해 구성할 수 있는가?
• RQ4 무작위 충격 외력이 작용하는 점성 버거스 방정식에서 '한 힘-한 해' 원리가 성립하는가?
• RQ5 같은 기울기를 가지지만 다른 종점을 가진 폴리머 측도는 무한체적 한계에서 점점 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 모든 고정된 점점 경사에 대해 자유 에너지 밀도는 거의 확실하게 무한체적 한계에서 결정론적 한계로 수렴한다.
• 자유 에너지의 변동 지수는 유계이므로 열역학적 한계에서 초분산 변동이 발생한다.
• 직선성 추정에 의해 횡방향 변동 지수는 유계이므로 경로의 국소화가 나타난다.
• 무한체적 폴리머 측도는 거의 확실하게 존재하며, 각 고정된 점점 경사에 대해 유일하며 열역학적 한계를 이룬다.
• 같은 기울기를 가지지만 다른 종점이 있는 폴리머 측도의 마진은 경로 길이가 무한히 증가함에 따라 점점 수렴한다.
• '한 힘-한 해' 원리가 성립한다: 점성 버거스 방정식에 무작위 외력이 작용할 경우, 각 정적인 해는 동일한 공간 평균을 가진 초기 조건에 대해 한 점 당김-어트랙터이다.