[논문 리뷰] Thermodynamic uncertainty relations

Jos Uffink, J. H. van Lith-van Dis|arXiv (Cornell University)|1998. 06. 08.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 13인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 양자역학적 불확정성 원리와 열역학적 변수, 특히 에너지(U)와 역온도(1/T) 사이의 유사성을 철저히 분석하여 열역학적 불확정성 관계를 조사한다. 연구는 Mandelbrot의 불확정성 관계 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 가 수학적으로 양자역학적 불확정성 관계와 동형임을 보이며, 그러나 이는 오직 열역학적 계가 열저장소와 열적 접촉이 있는 캐노니컬 집합에서만 유효하므로, 고립된 시스템과 열저장소에 연결된 시스템 간의 보편적인 보완성은 거부된다.

ABSTRACT

Bohr and Heisenberg suggested that the thermodynamical quantities of temperature and energy are complementary in the same way as position and momentum in quantum mechanics. Roughly speaking, their idea was that a definite temperature can be attributed to a system only if it is submerged in a heat bath, in which case energy fluctuations are unavoidable. On the other hand, a definite energy can only be assigned to systems in thermal isolation, thus excluding the simultaneous determination of its temperature. Rosenfeld extended this analogy with quantum mechanics and obtained a quantitative uncertainty relation in the form (Delta U) (Delta (1/T)) >= k where k is Boltzmann's constant. The two `extreme' cases of this relation would then characterize this complementarity between isolation (U definite) and contact with a heat bath (T definite). Other formulations of the thermodynamical uncertainty relations were proposed by Mandelbrot (1956, 1989), Lindhard (1986) and Lavenda (1987, 1991). This work, however, has not led to a consensus in the literature. It is shown here that the uncertainty relation for temperature and energy in the version of Mandelbrot is indeed exactly analogous to modern formulations of the quantum mechanical uncertainty relations. However, his relation holds only for the canonical distribution, describing a system in contact with a heat bath. There is, therefore, no complementarity between this situation and a thermally isolated system.

연구 동기 및 목표

• Bohr, Heisenberg 등이 제안한 열역학적 불확정성 관계의 개념적 및 수학적 기초를 명확히 하는 것.
• 문헌에서 열역학적 불확정성 관계의 유효성과 적용 범위에 대해 여전히 의견이 분분한 데서 기인한 불일치를 해결하는 것.
• 열적으로 고립된 시스템(고정된 에너지)과 열저장소에 접촉한 시스템(고정된 온도) 간의 보완성 관계가 불확정성 관계에 의해 엄밀히 지지되는지 평가하는 것.
• 열역학적 불확정성과 양자역학적 불확정성 관계 사이의 형식적 유사성을 상세히 분석하는 것.
• Mandelbrot의 불확정성 관계 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 의 유효 범위를 통계집합 관점에서 규명하는 것.

제안 방법

• Mandelbrot(1956, 1989)가 제안한 열역학적 불확정성 관계를 캐노니컬 집합의 맥락에서 분석한다.
• Mandelbrot의 관계 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 를 현대적 양자역학적 불확정성 관계와 비교한다.
• 통계역학 원리를 적용하여 캐노니컬 분포를 가정할 때 불확정성 관계의 유효성을 평가한다.
• 관계가 캐노니컬 집합에서는 수학적으로 등식으로 성립함을 보이며, 이는 고립된 시스템과의 보완성은 의미하지 않는다는 것을 입증한다.
• 평형 통계역학의 형식을 사용하여 불확정성 관계가 캐노니컬 분포의 성질에 기인함을 보여준다.
• 불확정성 관계가 통계집합 간 비대칭이므로, 고립과 열적 접촉 간의 일반적 열역학적 보완성 개념을 기각한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mandelbrot의 열역학적 불확정성 관계 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 는 수학적으로 양자역학적 불확정성 관계와 동형인가?
• RQ2 불확정성 관계는 열적으로 고립된 시스템(고정된 U)과 열적 접촉이 있는 시스템(고정된 T) 간의 본질적 보완성을 암시하는가?
• RQ3 불확정성 관계의 통계집합 의존성은 무엇이며, 캐노니컬 집합 외부에서도 성립하는가?
• RQ4 다수의 공식화에도 불구하고 문헌에서 열역학적 불확정성 관계에 대해 의견이 분분한 이유는 무엇인가?
• RQ5 불확정성 관계는 캐노니컬 분포로부터 유도될 수 있으며, 그 한계는 무엇인가?

주요 결과

• Mandelbrot의 불확정성 관계 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k 는 수학적으로 양자역학적 불확정성 관계와 동형이며, 이는 공식적 유효성을 확인한다.
• 관계는 정확히 열저장소와 열적 접촉이 있는 캐노니컬 집합에서 성립하며, 이 경우 온도가 잘 정의되어 있다.
• 불확정성 관계는 고립된 시스템(고정된 에너지)과 열저장소에 연결된 시스템(고정된 온도) 간의 일반적 보완성을 지지하지 않으며, 이 관계는 고립된 시스템에서는 정의되지 않기 때문이다.
• 고립된 시스템에 해당하는 마이크로캐노니컬 집합에서는 해당 불확정성 관계가 존재하지 않기 때문에, 두 극단 간 대칭적인 보완성이 성립하지 않음을 입증한다.
• Rosenfeld, Lindhard, Lavenda 등이 제시한 다른 공식화는 일관성 없거나 덜 엄밀하여, 의견의 분열을 초래한 것으로 밝혀졌다.
• 논문은 불확정성 관계가 보편적인 열역학적 이원성이라기보다 캐노니컬 분포의 성질임을 결론으로 이끌어낸다.