[논문 리뷰] Thermodynamically Consistent, Frame Indifferent Diffuse Interface Models for Incompressible Two-Phase Flows with Different Densities

Helmut Abels, Harald Garcke외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 01.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 17인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 유체 밀도가 다를 수 있는 비압축성 이상류를 위한 열역학적으로 일관되고 프레임에 무관한 확산 인터페이스 모델을 합리적 연속체 역학을 통해 유도한다. 매칭된 점근적 전개를 사용하여 날카운 인터페이스 극한을 엄밀히 유도하며, 표면 확산에서 기인하는 새로운 항을 포함하고, 유도된 모든 모델이 자연적인 에너지 부등식을 만족함을 증명한다.

ABSTRACT

A new diffuse interface model for a two-phase flow of two incompressible fluids with different densities is introduced using methods from rational continuum mechanics. The model fulfills local and global dissipation inequalities and is frame indifferent. Moreover, it is generalized to situations with a soluble species. Using the method of matched asymptotic expansions we derive various sharp interface models in the limit when the interfacial thickness tends to zero. Depending on the scaling of the mobility in the diffusion equation we either derive classical sharp interface models or models where bulk or surface diffusion is possible in the limit. In the latter case a new term resulting from surface diffusion appears in the momentum balance at the interface. Finally, we show that all sharp interface models fulfill natural energy inequalities.

연구 동기 및 목표

• 열역학적 일관성과 프레임에 무관함을 만족하는, 서로 다른 유체 밀도를 가진 비압축성 이상류를 위한 확산 인터페이스 모델을 개발하는 것.
• Model H와 Lowengrub-Truskinovsky 모델과 같은 기존 모델을 확장하여, 밀도 변화 효과를 포함하면서도 물리적 일관성을 유지하는 것.
• 매칭된 점근적 전개를 통해 이동도의 다양한 스케일링을 고려하여 날카운 인터페이스 극한을 엄밀히 유도하는 것.
• 이동도가 적절하게 스케일링될 경우, 날카운 인터페이스 극한에서 표면 확산에서 기인하는 새로운 항을 식별하고 포함하는 것.
• 유도된 모든 날카운 인터페이스 모델이 자연적인 에너지 부등식을 만족함을 증명하여 열역학적 안정성을 확보하는 것.

제안 방법

• 지역 및 전역 소산 부등식이 만족되도록 보장하는 합리적 연속체 역학을 사용하여 확산 인터페이스 모델을 수립한다.
• 자유 에너지 밀도를 $\rho\hat{\sigma}(\varepsilon^{-1}\psi(c) + \varepsilon|\nabla c|^2/2)$ 비례로 정의하며, 여기서 $\rho$는 변수 밀도이다.
• 모멘텀 방정식에 표면장력 항 $-\hat{\sigma}\varepsilon\operatorname{div}(\rho\nabla c \otimes \nabla c)$ 를 포함하여 프레임에 무관함을 확보한다.
• 상진화를 위한 Cahn-Hilliard 방정식을 사용하며, 이동도 $m(c)$ 를 정의하고 화학적 포텐셜 $\mu$ 를 압력과 곡률 기여를 포함하도록 정의한다.
• 확산 인터페이스 시스템으로부터 날카운 인터페이스 모델을 도출하기 위해 $\varepsilon \to 0$ 근처에서 매칭된 점근적 전개를 적용한다.
• 이동도 $m$ 의 스케일링을 분석하여, 고전적 모델과 날카운 극한에서 부피 또는 표면 확산을 允허하는 모델 간의 차이를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 밀도를 가진 비압축성 이상류를 위한 확산 인터페이스 모델을 어떻게 구성할 수 있을까? 이 모델은 열역학적 일관성과 프레임에 무관함을 만족해야 한다.
• RQ2 이동도 계수의 다양한 스케일링 조건 하에서 확산 인터페이스 모델의 날카운 인터페이스 극한은 무엇인가?
• RQ3 날카운 인터페이스 극한에서 표면 확산을 포함시키면, 인터페이스에서 모멘텀 균형에 새로운 물리적 항이 나타나는가?
• RQ4 모든 유도된 날카운 인터페이스 모델이 자연적인 에너지 부등식을 만족하는가?
• RQ5 변수 밀도 모델은 고전적 Model H와 Lowengrub-Truskinovsky 모델과 수학적으로 및 물리적으로 어떻게 다를까?

주요 결과

• 제안된 확산 인터페이스 모델은 지역 및 전역 소산 부등식을 만족하고, 프레임에 무관하여 열역학적 및 물리적 일관성을 보장한다.
• 매칭된 점근적 전개를 통해, 이 모델은 Cahn-Hilliard 방정식에서 이동도 $m$ 의 스케일링에 따라 의존하는 날카운 인터페이스 극한을 도출한다.
• 이동도가 $\varepsilon^2$ 로 스케일링될 경우, 인터페이스에서 모멘텀 균형에 표면 확산에서 기인하는 새로운 항이 나타나며, 고전적 날카운 인터페이스 모델을 수정한다.
• 고전적 스케일링 조건에서는 모델이 표면장력과 부피력이 포함된 표준 날카운 인터페이스 모델로 축소된다.
• 모든 유도된 날카운 인터페이스 모델은 자연적인 에너지 부등식을 충족하여 열역학적 안정성을 확인한다.
• 분석을 통해 변수 밀도 모델이 서로 다른 밀도를 가진 이상류의 물리적 거동를 정확히 포착하며, 압력과 화학적 포텐셜 간의 올바른 결합을 반영함을 확인한다.