[논문 리뷰] Theta constants associated to cubic three folds

Keiji Matsumoto, Tomohide Terasoma|ArXiv.org|2000. 08. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼중 쌍대 덮개가 삼차 표면 위에서 분할된 P³의 중간 아벨 다양체의 (1−ρ)- torsion 점들과 관련된 테타 상수를 사용하여, 27개의 직선을 가진 삼차 표면의 모듈리 공간에 대한 W(E₆)-동차 프로젝티브 매장을 수립한다. 핵심 결과는 이 매장이 4차원 복소 구면 위의 테타 상수로부터 유도되며, 이는 기하학적으로 일반 위치에 있는 P² 내의 여섯 점의 모듈리 공간에 대한 고전적 프로젝티브 매장과 정확히 일치함을 보여주며, 이는 테타 상수를 통한 주기 매핑의 명시적 역함수를 제공한다.

ABSTRACT

For a cubic surface X, by considering the intermediate Jacobian J(Y) of the triple covering Y of the 3-dimensional projective space branching along X, Allcock, Carlson and Toledo constructed a period map per from the family of marked cubic surfaces to the four dimensional complex ball embedded in the Siegel upper half space of degree 5. We give an expression of the inverse of per in terms of theta constants by constructing an isomorphism between J(Y) and a Prym variety of a cyclic 6-ple covering of the projective line branching at seven points.

연구 동기 및 목표

• 삼차 표면의 27개의 직선을 표시한 경우에 대해 테타 상수를 사용하여 W(E₆)-동차 프로젝티브 매장을 구성하는 것.
• 4차원 복소 구면 위의 테타 상수와 P² 내의 여섯 점의 모듈리 공간의 고전적 좌표 사이의 정확한 대응 관계를 확립하는 것.
• 삼차 표면의 모듈리 공간에서 복소 구면 몫 Γ\B₄로 가는 주기 매핑의 역함수가 이 테타 상수들에 의해 명시적으로 주어진다는 것을 증명하는 것.
• P³의 삼중 쌍대 덮개의 중간 아벨 다양체의 (1−ρ)- torsion 부분군 위에서 Weyl 군 W(E₆)의 작용을 이해하는 것.

제안 방법

• 중간 아벨 다양체 J(Y)의 (1−ρ)- torsion 부분군에 속하는 원소 v에 대해 4차원 복소 구면 B₄ 위에 정의된 테타 상수 Θᵥ(τ)를 정의한다.
• 삼차 표면의 직선 위의 μ₃-덮개와 J(Y) 사이의 동형을 이용하여 J(Y)의 주기와 종수 11 곡선의 주기를 연결한다.
• W(E₆) 군이 27개의 직선과 J(Y)₁₋ρ 위의 F₃-벡터 공간에 작용함을 활용하여 80개의 비영 테타 상수를 분류한다.
• 80개의 비영 테타 상수의 세제곱을 사용하여 Γ\B₄ → P⁷⁹로의 프로젝티브 매장을 Θ로 구성하며, 이 매장이 W(E₆)-동차임을 보인다.
• 이 매장이 주기 매핑 φ를 포함하는 교환도형을 통해 M₆pts의 고전적 W(E₆)-동차 매장 Z와 정확히 일치함을 증명한다.
• F₃⁵ 내의 조합적 항등식과 플루커 유형의 관계식을 이용하여 테타 상수들 간의 삼차 관계와 Z다항식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼차 표면의 모듈리 공간에서 복소 구면 몫 Γ\B₄로 가는 주기 매핑의 역함수는 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 P² 내의 여섯 점의 모듈리 공간에 대한 W(E₆)-동차 프로젝티브 매장과 복소 구면 위의 테타 상수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 중간 아벨 다양체의 프리모 구성은 주기 매핑과 테타 상수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특정 (1−ρ)- torsion 점들과 관련된 테타 상수들이 만족하는 대수적 관계는 무엇인가?
• RQ5 고전적 방식으로 정의된 P² 내의 여섯 점의 모듈리 공간의 매장은 복소 구면 위의 테타 상수들로부터 복원 가능한가?

주요 결과

• 80개의 비영 테타 상수의 세제곱을 사용한 Γ\B₄의 프로젝티브 매장 Θ는 W(E₆)-동차이며, P² 내의 여섯 점의 모듈리 공간 M₆pts에 대한 고전적 매장 Z와 정확히 일치한다.
• 주기 매핑 φ: M_cs → Γ\B₄의 역함수는 테타 상수들에 의해 명시적으로 주어지며, 이 매핑은 그 이미지 위로의 동형사상이다.
• 80개의 비영 테타 상수는 이차형식 q에 대해 F₃⁵ 내의 80개의 등지적 벡터와 일대일 대응되며, 그 세제곱이 매장을 정의한다.
• 주기 매핑은 올바르고 전사이며, 단사성에 의해 주기 매핑이 동형사상임을 확인함으로써 모듈리 공간의 균일화가 성립함을 증명한다.
• 테타 상수들 간의 삼차 관계가 유도되었으며, 이는 w ∈ R에 대해 ∑_{v∈Ĩ(w)} Θᵥ³ = 0 와, 한 개의 차원을 공유하는 최대 등지적 부분공간 V₁, V₂에 대해 ∏_{v₁∈S_{V₁}} Θᵥ₁³ = ε̃(S_{V₁},S_{V₂}) ∏_{v₂∈S_{V₂}} Θᵥ₂³ 인 9차 항등식을 포함한다.
• ∑_{v∈Ĩ(w)} Zᵥ = 0 와 ∏_{v₁∈S_{V₁}} Zᵥ₁ = ε̃(S_{V₁},S_{V₂}) ∏_{v₂∈S_{V₂}} Zᵥ₂ 를 만족하는 방정식계는 P⁷⁹ 내의 M₆pts의 닫힘을 정의한다.