[논문 리뷰] Theta functions and algebraic curves with automorphisms

G. S. Wijesiri, Wijesiri, G. S.|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타원적 곡선의 Thomae 공식과 리만의 제타 함수 및 주기 적분에 기반한 일반적 방법을 사용하여, 자동형사상이 있는 종수 2, 3, 4의 순환 대수적 곡선의 분지점을 제타 상수(제타널)의 비율로 표현하는 명시적 공식을 유도한다. 주요 기여는 이러한 곡선에 대해 주기 사상의 체계적 역행을 가능하게 하여, 제타 함수를 통한 모듈리 공간 내의 기하학적 특성 기술을 실현하는 것이다.

ABSTRACT

Let $\X$ be an irreducible, smooth, projective curve of genus $g \geq 2$ defined over the complex field $\C.$ Then there is a covering $π: \X \longrightarrow ¶^1,$ where $¶^1$ denotes the projective line. The problem of expressing branch points of the covering $π$ in terms of the transcendentals (period matrix, thetanulls, e.g.) is classical. It goes back to Riemann, Jacobi, Picard and Rosenhein. Many mathematicians, including Picard and Thomae, have offered partial treatments for this problem. In this work, we address the problem for cyclic curves of genus 2, 3, and 4 and find relations among theta functions for curves with automorphisms. We consider curves of genus $g > 1$ admitting an automorphism $σ$ such that $\X^σ$ has genus zero and $σ$ generates a normal subgroup of the automorphism group $Aut(\X)$ of $\X$. To characterize the locus of cyclic curves by analytic conditions on its Abelian coordinates, in other words, theta functions, we use some classical formulas, recent results of Hurwitz spaces, and symbolic computations, especially for genera 2 and 3. For hyperelliptic curves, we use Thomae's formula to invert the period map and discover relations among the classical thetanulls of cyclic curves. For non hyperelliptic curves, we write the equations in terms of thetanulls. Fast genus 2 curve arithmetic in the Jacobian of the curve is used in cryptography and is based on inverting the moduli map for genus 2 curves and on some other relations on theta functions. We determine similar formulas and relations for genus 3 hyperelliptic curves and offer an algorithm for how this can be done for higher genus curves. It is still to be determined whether our formulas for $g=3$ can be used in cryptographic applications as in $g=2.$

연구 동기 및 목표

• 자기 동형사상이 있는 순환 대수적 곡선의 분지점을 제타 상수(제타널)의 표현으로 기술하는 것.
• 모듈리 공간 내 순환 곡선의 위치를 특징짓는 주기 행렬과 제타 함수에 대한 해석적 조건을 제공하는 것.
• 종수 2에서 종수 3 및 4로의 주기 사상 역행을 일반화하여, 비자명한 자기 동형사상 군을 가진 곡선에 적용하는 것.
• 기호 계산과 고전적 공식을 활용하여 제타 함수의 비율로서 분지점을 계산하는 일반적 방법을 개발하는 것.
• 종수 2 곡선 산술에 사용되는 공식들과 유사한 종수 3 공식의 암호학적 응용 잠재력을 평가하는 것.

제안 방법

• 타원적 곡선의 분지점을 제타 상수의 비율로 표현하기 위해 Thomae 공식을 사용한다.
• 레마 7을 적용하여 주기 적분을 통해 약수류와 제타 함수를 연결하고, 주기 사상의 역행을 가능하게 한다.
• 복잡한 적분을 평가하고 제타널 간의 명시적 대수적 관계를 도출하기 위해 Maple 10을 활용한 기호 계산을 수행한다.
• 유리 특성과 함께 사용되는 리만의 제타 함수와 그 준주기성을 활용하여 적분과 제타 상수를 연결한다.
• 히르츠 공간과 시에겔 상반평면 위에서 심플렉틱 군 작용에 기반한 고전적 공식을 적용하여 모듈리 공간의 위치를 제약한다.
• 예를 들어 $y^3 = (x^2-1)(x^4 - \beta x^2 + 1)$와 같은 곡선의 명시적 매개변수화를 유도하고, 그 불변량을 제타널의 표현으로 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기 동형사상이 있는 종수 2, 3, 4의 순환 곡선의 분지점을 제타 상수의 비율로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 주기 행렬과 제타 함수에 대한 어떤 해석적 조건이 이러한 곡선의 모듈리 위치를 특징짓는가?
• RQ3 종수 2에 사용된 방법을 종수 3 및 4의 자기 동형사상이 있는 곡선으로 일반화하여 주기 사상의 역행을 수행할 수 있는가?
• RQ4 자기 동형군 $C_3$, $C_5$, $C_6 \times C_2$ 등을 가진 순환 곡선의 제타널과 불변량 사이에 어떤 명시적 대수적 관계가 존재하는가?
• RQ5 유도된 종수 3 곡선 공식들이 종수 2와 마찬가지로 암호 시스템에 얼마나 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 자기 동형사상 군이 $C_3$인 종수 2 타원적 곡선의 경우, Thomae 공식을 통해 분지점이 제타널의 유리함수로 표현된다.
• 자기 동형사상이 $C_3$ 또는 $C_5$인 종수 3 타원적 곡선의 경우, 불변량 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha$와 제타 상수의 비율을 연결하는 명시적 공식이 도출된다.
• 곡선 $y^3 = (x^2 - 1)(x^4 - \alpha x^2 + 1)$의 매개변수 $\alpha$는 특정 주기 적분에서 평가된 제타 함수의 비율의 곱으로 표현된다.
• 레마 7의 방법은 약수류와 제타 함수를 비교함으로써 분지점 표현을 도출할 수 있게 하지만, 적분의 기호적 평가는 여전히 도전적이다.
• 논문은 제타 함수와 기호 계산을 활용한 고차 종수의 순환 곡선에 대한 주기 사상 역행을 위한 일반적인 알고리즘 프레임워크를 제공한다.
• 종수 2 및 종수 3 곡선에 대한 일부 결과는 이전에 [15]에 발표되었지만, 본 연구는 이를 종수 4로 확장하고 비타원적 경우에 대한 새로운 명시적 공식을 제공한다.