[논문 리뷰] Theta functions and arithmetic quotients of loop groups

Dongwen Liu|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 02.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 69

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 위의 메트릭화된 벡터(bundle)에 대한 격자 위의 가중합의 수렴을 통해, 루프 군의 산술 몫에 대한 渐近적(漸近的) $θ$ 함수를 도입한다. Iwasawa 분해와 푸리에 분석을 이용하여 균일 수렴을 확립하고, 함수를 루프 심플렉틱 군으로 확장하며, Mumford의 $θ$ 관계와 유사한 渐近적 곱셈 공식을 유도한다. 이 공식은 루프 하이젠베르크 군의 작용을 갖는 무한차원 토러스 위의 선다발의 절단으로 해석된다.

ABSTRACT

In this paper we observe that isomorphism classes of certain metrized vector bundles over P^1-{0,infinity} can be parameterized by arithmetic quotients of loop groups. We construct an asymptotic version of theta functions, which are defined on these quotients. Then we prove the convergence and extend the theta functions to loop symplectic groups. We interpret them as sections of line bundles over an infinite dimensional torus, discuss the relations with loop Heisenberg groups, and give an asymptotic multiplication formula.

연구 동기 및 목표

• 산술 몫 $ℜ_{n,q}$ 를 $ℚ^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 위의 메트릭화된 벡터(bundle)와 체적 이론을 분류하는 것으로 모듈라이 해석을 수립한다.
• 중첩된 격자에 대한 극한으로 정의된 $χ(\widetilde{g}) = \lim_L c(L) \sum_{v \in L} e^{-\pi(v,v)_g}$ 형태의 渐近적 $θ$ 함수를 구축하고, 푸리에 분석과 포아송 합공식을 통해 시에겔 부분집합에서의 균일 수렴을 증명한다.
• 표현론적 기법을 통해 $θ$ 함수를 루프 심플렉틱 군으로 확장하고, 무한차원 토러스 위의 선다발의 전역 절단으로 해석한다.
• 반무한 그라스만만을 사용하고 차원 이론을 적용하여, $θ$ 함수에 대한 渐近적 곱셈 공식을 도출한다.
• 건설 과정을 루프 하이젠베르크 군과 연관지워, $χ(\widetilde{g})$ 위의 자동형 함수를 통한 표현론적 해석을 제공한다.

제안 방법

• $g \in GL_n(\mathbb{R}[t,t^{-1}])$ 에 대해 $q^{-1}S^1$ 에서의 적분을 통해 $\mathbb{R}[t,t^{-1}]^n$ 에 내적을 정의하고, $(,)_g$ 를 가중 내적의 가중가를 유도한다.
• 중앙 확장과 이중 덮개를 이용하여, 메트릭화된 벡터(bundle)와 체적 자료를 분류하는 모듈라이 공간으로서 산술 몫 $\mathcal{Q}_{n,q} = \widetilde{\Gamma} \backslash \widetilde{G} / \widetilde{K}$ 를 구성한다.
• 중첩된 격자 $L$ 을 따라 변하는 극한으로 정의된 渐近적 $θ$ 함수 $\vartheta(\widetilde{g}) = \lim_L c(L) \sum_{v \in L} e^{-\pi(v,v)_g}$ 를 정의한다. 여기서 $c$ 는 체적 이론이다.
• 루프 군의 Iwasawa 분해와 [4] 및 [12]의 레미마 변형을 결합한 포아송 합공식을 사용하여, $\vartheta(\widetilde{g})$ 의 균일 수렴을 증명한다.
• Y. Zhu의 Weil 표현에 영향을 받은 표현론적 기법을 통해 $θ$ 함수를 루프 심플렉틱 군으로 확장한다.
• 무한차원 토러스 위의 선다발의 전역 절단으로서 $θ$ 함수를 해석하고, 반무한 그라스만만과 차원 이론을 사용하여 渐近적 곱셈 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루프 군의 산술 몫을 통해 $ℚ^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 위의 메트릭화된 벡터(bundle)의 동형류는 어떻게 매개화될 수 있는가?
• RQ2 중첩된 격자에 대한 극한으로 정의된 渐近적 $θ$ 함수의 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 루프 군 위의 $θ$ 함수는 어떻게 루프 심플렉틱 군으로 확장될 수 있으며, 기하학적·표현론적 해석은 어떻게 이루어지는가?
• RQ4 이 무한차원 설정에서 $θ$ 함수에 대한 渐近적 곱셈 공식의 구조는 어떠한가?
• RQ5 체적 이론은 차원 이론과 반무한 그라스만만과 어떻게 상호작용하여 개념적인 곱셈 규칙을 도출하는가?

주요 결과

• $\vartheta(\widetilde{g})$ 는 루프 군의 포아송 합공식과 군의 푸리에 분석을 통해 시에겔 부분집합에서 균일하게 수렴한다.
• 건설은 $χ(\widetilde{g})$ 위의 자동형 함수를 제공하며, 이는 산술 몫 $ℜ_{n,q}$ 에 대해 모듈라이 이론적 해석을 부여한다.
• $θ$ 함수는 루프 심플렉틱 군으로 확장되어, 심플렉틱 기하학을 갖는 무한차원 설정으로 고전 $θ$ 함수를 일반화한다.
• 渐近적 곱셈 공식은 $f_{l_1}^{a_1}(z)f_{l_2}^{a_2}(z) = \lambda \cdot \lim_{d \to \infty} (l_3')^{-\mathscr{D}(L^d_{\mathbb{R}})} \sum_{\eta \in S^{a_1,a_2}_{l_1,l_2} \cap L^d_{\mathbb{Z}}} f^{\widetilde{a}_\eta}_{l_1' l_2' l_3, L^d_{\mathbb{Z}}}(0) f^{a_\eta}_{l_3, L^d_{\mathbb{Z}}}(z)$ 로 유도되며, 여기서 $\mathscr{D}$ 는 차원 이론이고 $\lambda$ 는 상수이다.
• 이 공식은 Mumford의 $θ$ 관계를 일반화하며, 루프 하이젠베르크 군의 작용을 갖는 무한차원 토러스 위의 선다발 절단의 곱으로 해석된다.
• 만약 $l_1 = l_2 = l$ 이면 공식은 $f^a_l(z)^2 = \lambda \cdot \lim_{d \to \infty} 2^{-\mathscr{D}(L^d_{\mathbb{R}})} \sum_{\eta \in S_2} f^{a_1 - a_2 + l\eta}_{2l, L^d_{\mathbb{Z}}}(0) f^{a_1 + a_2 + l\eta}_{2l, L^d_{\mathbb{Z}}}(z)$ 로 단순화되며, 고전 $θ$ 관계의 무한차원 해석을 제공한다.