[논문 리뷰] (Theta, triangle)-free and (even hole, $K_4$)-free graphs. Part 1 : Layered wheels

Sintiari, Ni Luh Dewi, Trotignon, Nicolas|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 26.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 (theta, 삼각형)-자유이자 (짝수 환, K₄)-자유인 그래프 클래스 내에서 임의로 큰 트리너비와 둘레를 가지는 새로운 그래프 구조인 층화된 휠(layered wheel)을 제안한다. 이러한 그래프를 구간 그래프에 통합하고 경로너비를 유계로 둠으로써, 저자들은 트리너비가 정점 수에 대해 로그적으로 증가함을 증명하며, K₄가 없고 짝수 환 자유인 그래프에서 트리너비가 클리크 수에 의해 유계되지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We present a construction called layered wheel. Layered wheels are graphs of arbitrarily large treewidth and girth. They might be an outcome for a possible theorem characterizing graphs with large treewidth in terms of their induced subgraphs (while such a characterization is well-understood in terms of minors). They also provide examples of graphs of large treewidth and large rankwidth in well-studied classes, such as (theta, triangle)-free graphs and even-hole-free graphs with no $K_4$ (where a hole is a chordless cycle of length at least four, a theta is a graph made of three internally vertex disjoint paths of length at least two linking two vertices, and $K_4$ is the complete graph on four vertices).

연구 동기 및 목표

• 잘 알려진 유전적 그래프 클래스 내에서 임의로 큰 트리너비와 둘레를 지닌 그래프를 구성하기.
• 짝수 환 자유이면서 K₄를 포함하지 않는 그래프에서 트리너비가 클리크 수의 함수로 유계라는 추측에 도전하기.
• Kₖ, Kₖ,ₖ 및 분할선 그래프와 같은 표준적인 큰 트리너비 증거를 피하는 새로운 그래프 가족 제공하기.
• 큰 트리너비의 금지된 부분그래프 특성화 가능성 탐색—그리드 마이너 정리와 유사한 형태로.
• Truemper 구성요소의 구조적 성질과 그 유전적 그래프 클래스 분해 정리에서의 역할 분석하기.

제안 방법

• 각 층이 다음 층과 다리와 상자로 연결되는 반복적 구성 방식을 가진 층화된 휠을 정의한다.
• 각 정점의 '범위(scope)' 개념을 도입하여, 깊이 기반의 재귀적 정의를 통해 정점의 影響을 층 간에 추적한다.
• 층화된 휠의 각 정점에 대응하는 경로를 가진 정점으로 구성된 구간 그래프 I(Gₗ,ₖ)를 구성한다.
• 층화된 휠이 그 관련 구간 그래프의 부분그래프임(항상 유도 부분그래프는 아님)을 증명한다.
• 비연결 정점들이 같은 층에 있을 경우 각 깊이에서 범위가 서로 겹치지 않음을 이용하여, 구간 그래프의 클리크 수를 활용해 층화된 휠의 경로너비를 유계로 둔다.
• 깊이에 대한 귀납법을 사용하여, 같은 층에 있지만 서로 연결되어 있지 않은 정점들의 범위가 깊이가 증가함에 따라 점점 서로 겹치지 않음을 보여주며, 이로 인해 구간 그래프의 클리크 크기가 제한됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 큰 트리너비 증거를 포함하지 않는 (theta, 삼각형)-자유 및 (짝수 환, K₄)-자유 그래프 클래스 내에서, 임의로 큰 트리너비를 지닌 그래프가 존재할 수 있는가?
• RQ2 그리드 마이너 정리와 유사하게, 큰 트리너비에 대한 금지된 부분그래프 특성화가 존재하는가?
• RQ3 짝수 환 자유이면서 K₄를 포함하지 않는 그래프에서 트리너비가 정점 수에 대해 최대 로그적으로 증가하는가?
• RQ4 층화된 휠이 Truemper 구성요소를 금지하는 유전적 그래프 클래스에서 극한 예시로 기능할 수 있는가?
• RQ5 층화된 휠에서 경로너비와 트리너비의 관계는 무엇이며, 이는 그래프 크기와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 층화된 휠은 (theta, 삼각형)-자유이자 (짝수 환, K₄)-자유이면서도 임의로 큰 트리너비와 둘레를 지닌다.
• 층화된 휠 Gl,k의 경로너비는 최대 2l이며, 이는 구성에 대해 정확히 이론적 최적값이다.
• Gl,k의 트리너비는 2l 이하로 유계이며, 이는 O(log |V(Gl,k)|)이므로 정점 수에 대해 로그적으로 증가함을 보여준다.
• Gl,k의 정점 수는 c·3^l 이상이며, 이때 c ≥ 3 이므로 층 수에 대해 지수적 증가를 확인한다.
• Gl,k와 관련된 구간 그래프 I(Gl,k)의 클리크 수는 최대 2l + 1이며, 이는 직접적으로 경로너비를 유계로 둔다.
• 같은 층에 있지만 서로 연결되어 있지 않은 정점들은 모든 깊이에서 범위가 서로 겹치지 않으며, 이는 구간 그래프에 큰 클리크가 형성되지 않음을 보장한다.