[논문 리뷰] Thompson's group and public key cryptography

Vladimir Shpilrain, Alexander Ushakov|arXiv (Cornell University)|2005. 05. 24.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 R. Thompson의 군 F에서의 분해 문제를 기반으로 한 새로운 공개 키 교환 프로토콜을 제안한다. 이는 O(n log n) 시간 내에 정규형을 효율적으로 계산할 수 있는 특성을 활용한다. 프로토콜은 개인 요소 노출을 은폐하기 위해 키 교환 방식을 재구성함으로써 길이 기반 공격에 대한 보안을 향상시킨다. 이는 실용적인 성능을 갖춘 양자 이후 암호화를 위한 비아벨 군 플랫폼으로 유망하다.

ABSTRACT

Recently, several public key exchange protocols based on symbolic computation in non-commutative (semi)groups were proposed as a more efficient alternative to well established protocols based on numeric computation. Notably, the protocols due to Anshel-Anshel-Goldfeld and Ko-Lee et al. exploited the conjugacy search problem in groups, which is a ramification of the discrete logarithm problem. However, it is a prevalent opinion now that the conjugacy search problem alone is unlikely to provide sufficient level of security no matter what particular group is chosen as a platform. In this paper we employ another problem (we call it the decomposition problem), which is more general than the conjugacy search problem, and we suggest to use R. Thompson's group as a platform. This group is well known in many areas of mathematics, including algebra, geometry, and analysis. It also has several properties that make it fit for cryptographic purposes. In particular, we show here that the word problem in Thompson's group is solvable in almost linear time.

연구 동기 및 목표

• 군 기반 암호시스템에서 공백 문제만으로는 충분히 안전하지 않다는 점이 점점 더 우려되고 있다.
• 비아벨 군에서 더 일반적인 분해 문제를 기반으로 한 새로운 암호 프로토콜을 제안한다.
• Thompson의 군 F를 공개 키 암호화를 위한 플랫폼 군으로 사용하는 것의 실현 가능성과 보안성을 평가한다.
• Thompson의 군 F가 효율적인 정규형 계산을 지원함으로써 실용적인 구현이 가능하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 기본적으로 어려운 문제로 분해 문제를 채택하여 공백 문제를 일반화한다.
• 앨리스와 백스가 각각 $ a_1 w b_1 $ 및 $ b_2 w a_2 $ 형태의 원소를 교환하여 공통 비밀값 $ K = a_1 b_2 w a_2 b_1 $ 를 계산하는 수정된 키 교환 프로토콜을 설계한다.
• 플랫폼 군으로서 무한 표현 $ F = \langle x_0, x_1, \dots \mid x_i^{-1}x_k x_i = x_{k+1} \text{ for } k > i \rangle $ 를 가진 Thompson의 군 F를 사용한다.
• 감소 과정 중 인덱스 조정을 추적하기 위해 두 스택을 사용하는 알고리즘을 구현하여 $ O(|w|\log|w|) $ 시간 내에 군 원소의 정규형을 계산한다.
• 반복적으로 '나쁜 쌍'을 제거하고 저장된 보정 값에 따라 인덱스를 조정함으로써 임의의 단어를 정규형으로 줄이는 데에 알고리즘을 적용한다.
• 정규형을 사용하여 군 원소의 유일한 표현과 프로토콜 내에서의 효율적 검증을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Thompson의 군 F에서의 분해 문제는 공개 키 교환 프로토콜의 안전한 기초가 될 수 있는가?
• RQ2 제안된 프로토콜은 이전의 군 기반 시스템과 비교해 길이 기반 공격에 대해 저항하는가?
• RQ3 Thompson의 군 F에서 정규형 계산의 계산 복잡도는 무엇이며, 효율적인 암호 연산을 지원할 수 있는가?
• RQ4 Thompson의 군 F에서 정규형 계산의 성능은 RSA와 같은 표준 수론적 플랫폼과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• Thompson의 군 F에서 단어의 정규형은 $ O(|w|\log|w|) $ 시간 내에 계산될 수 있으며, 이는 거의 선형이며 암호화 용도로 매우 효율적이다.
• 제안된 키 교환 프로토콜은 개인 요소의 비대칭적 교환 덕분에 이전의 프로토콜보다 길이 기반 공격에 더 강한 구조적 저항성을 갖는다.
• Thompson의 군 F는 RSA가 사전에 계산된 소수를 필요로 하는 것과 달리, 실시간으로 무작위 단어를 생성함으로써 효율적인 키 생성을 지원한다.
• 정규형 계산 알고리즘은 두 스택을 사용하여 인덱스 보정을 추적함으로써 정확성을 보장하면서도 선형대수 시간 복잡도를 유지한다.
• 분해 문제는 공백 문제와 정수 인수분해 문제를 모두 일반화하므로 더 강력한 보안 잠재력을 지닌다.
• 이론적 및 실험적 결과는 Thompson의 군 F가 비아벨 암호화를 위한 실현 가능하고 효율적인 플랫폼임을 시사한다.