[논문 리뷰] Three and a half asymptotic properties

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 07.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 간의 연산자에 대한 전순서 비상적 성질—부드러움 가능성, 유형, 등규모 유형, 그리고 중간 비상적 부드러움 가능성—을 도입하고 분석하며, 순서수와 지수를 인덱스로 사용하는 엄격한 연산자 아이디얼 계층을 수립한다. 이는 임의의 순서수 ξ와 1 < p < ∞에 대해, 𝒟ξ ⊊ 𝒯ξ,∞ ⊊ 𝒜ξ,∞ = 𝒩ξ,∞ ⊊ 𝒫ξ,∞ ⊊ 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p ⊊ 𝒟ξ+1의 엄격한 포함 관계를 증명하며, ξ가 가산 코finality를 가질 경우에만 해당 포함 관계가 엄격하다는 것을 보이며, 통제된 비상적 부드러움 모듈러스를 갖는 등가 노름을 통한 등규모 유형의 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We define and discuss transfinite asymptotic notions of smoothability, type, and equal norm type. We prove distinctness of these notions for a proper class of ordinals and that each class is an ideal. We also extend some results of Godefroy, Kalton, and Lancien to operators and ordinals greater than zero regarding the equivalence of equal norm asymptotic type and uniform renormings with power type smoothness. Finally, we discuss an extension of a non-linear result for quasi-reflexive, asymptotically $p$-smoothable Banach spaces to quasi-reflexive Banach spaces with asymptotic equal norm type $p$.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간 간의 연산자에 대한 전순서 비상적 부드러움 가능성, 유형, 등규모 유형의 일반화를 정의하고 분석한다.
• 모든 순서수 ξ와 지수 p ∈ (1, ∞)에 대해 이러한 비상적 연산자 클래스들 사이의 엄격한 계층적 포함 관계를 수립한다.
• 등규모 유형 p에 대한 등가 노름을 통한 특성화를 모든 순서수와 연산자로 일반화한다.
• 등규모 유형 p를 갖는 준반사적 바나흐 공간에 대한 비선형 임bedding 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 각 순서수 ξ와 p ∈ (1, ∞)에 대해, 𝒯ξ,p (비상적 부드러움 가능성), 𝒜ξ,p (비상적 유형), 𝒩ξ,p (등규모 유형), 𝒫ξ,p (중간 부드러움 가능성)의 네 가지 연산자 클래스를 도입한다.
• 특히 재노름화 성질과 관련하여, 주요 불변량으로서 ξ-Szlenk의 거듭제곱 유형 pξ(A)를 사용한다.
• 비상적 균일 부드러움의 ξ-모듈러스 ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|))를 적용하여, 통제된 부드러움 경계를 갖는 등가 노름을 통한 𝒩ξ,p 및 𝒩ξ,∞에 속하는지의 여부를 특성화한다.
• 블록 수열, 약한 영수 나무, 기저 지배 논증을 사용하여 클래스들을 구분하며, 특히 형식적 포함 I:ℓq → Ti*q의 엄격한 정칙성에 초점을 맞춘다.
• ℓp-기저에 의한 지배성과 나무 추정을 적용하여 특정 클래스에 속하지 않는다는 것을 보이며, 특히 준반사적 공간의 경우에 유용하다.
• Lancien과 Raja의 결과를 확장하여, metric space Gk가 준반사적 바나흐 공간에 Lipschitz로 임베딩될 수 있음을 정량화하며, 𝒩0,p의 구조를 갖는 공간에서 왜곡이 k^{1/p}에 비례함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바나흐 공간 간의 연산자에 대해 p-부드러움 가능성, 하르 유형, 등규모 유형, 중간 부드러움 가능성의 전순서 비상적 일반화가 서로 다를 수 있는가?
• RQ2 모든 순서수 ξ와 p ∈ (1, ∞)에 대해 이러한 비상적 클래스들의 계층이 엄격하게 순서가 매겨질 수 있는가?
• RQ3 등규모 유형 p는 통제된 거듭제곱형 비상적 부드러움 모듈러스를 갖는 등가 노름을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ4 Lancien과 Raja의 비선형 임베딩 결과는 등규모 유형 p를 갖는 준반사적 바나흐 공간으로까지 일반화될 수 있는가?
• RQ5 ξ-비상적으로 균일 부드러운 노름에 대한 재노름화 정리에서 상한이 도달될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 순서수 ξ와 1 < p < ∞에 대해, 다음의 엄격한 포함 체인이 성립한다: 𝒟ξ ⊊ 𝒯ξ,∞ ⊊ 𝒜ξ,∞ = 𝒩ξ,∞ ⊊ 𝒫ξ,∞ ⊊ 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p ⊊ 𝒟ξ+1.
• ξ가 가산 코finality를 가질 경우, 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p의 포함 관계는 모두 엄격하여, 네 가지 비상적 개념이 서로 다름을 확인한다.
• 연산자 A가 𝒩ξ,p에 속하는 것은, 모든 σ > 0에 대해, b⁻¹B_Y^|·| ⊂ B_Y ⊂ bB_Y^|·| 를 만족하는 등가 노름 |·| 가 존재하고, ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|)) ≤ Cσ^p 를 만족하는 상수 C, b ≥ 1가 존재하는 것과 동치이다.
• 연산자 A가 𝒩ξ,∞에 속하는 것은, 모든 ε > 0에 대해, b⁻¹B_Y^|·| ⊂ B_Y ⊂ bB_Y^|·| 를 만족하고, ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|)) ≤ ε 를 만족하는 상수 b ≥ 1과 σ > 0가 존재하는 것과 동치이다.
• 모든 k ∈ ℕ 및 X가 준반사적이고 I_X ∈ 𝒩0,p일 때, 임의의 Lipschitz 함수 f: G_k → X에 대해, 무한한 부분집합 M ⊂ ℕ 이 존재하여, M 내의 m₁ < n₁ < … < m_k < n_k 에 대해 ||f(m₁,…,m_k) - f(n₁,…,n_k)|| ≤ C·Lip(f)·k^{1/p} 를 만족한다.
• 무한차원 준반사적 바나흐 공간은 𝒯0,∞에 속할 수 없으며, 그렇지 않으면 c₀의 부분공간과 동형이 되어 준반사성과 모순된다.