[논문 리뷰] Three classes of 1-planar graphs

Július Czap, Peter Šugerek|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 04.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 1-평면 그래프를 그 그림에서 교차의 성질에 기반해 세 가지 클래스—C₀, C₁, C₂—로 새로운 분류를 제안한다. 이는 모든 n-정점 1-평면 그래프의 C₁-그림이 최대 (3/5)n − 6/5개의 교차를 가짐을 증명하며, 이는 (18/5)n − 36/5개의 간선에 대한 날카로운 상한을 이끌어내고, 이는 Zhang의 이전 결과를 향상시킨다. 본 연구는 1-평면 결합 곱의 특성을 규명하고, 소규모 그래프를 포함한 결합에서 간선 수에 대한 날카로운 상한을 설정한다.

ABSTRACT

A graph is called 1-planar if it can be drawn in the plane so that each of its edges is crossed by at most one other edge. In this paper we decompose the set of all 1-planar graphs into three classes $\mathcal C_0, \mathcal C_1$ and $\mathcal C_2$ with respect to the types of crossings and present the decomposition of 1-planar join products. Zhang \cite{z} proved that every $n$-vertex 1-planar graph of class $\mathcal C_1$ has at most $\frac{18}{5}n-\frac{36}{5}$ edges and a $\mathcal C_1$-drawing with at most $\frac 35 n-\frac 65$ crossings. We improve these results. We show that every $\mathcal C_1$-drawing of a 1-planar graph has at most $\frac 35 n-\frac 65$ crossings. Consequently, every $n$-vertex 1-planar graph of class $\mathcal C_1$ has at most $\frac{18}{5}n-\frac{36}{5}$ edges. Moreover, we prove that this bound is sharp.

연구 동기 및 목표

• 1-평면 그래프를 그 그림에서 교차의 교차 패턴에 기반해 세 가지 상이한 클래스—C₀, C₁, C₂—로 분류하는 것.
• Zhang의 이전 결과를 개선하여, 1-평면 그래프의 C₁-그림에서 교차 수와 간선 수에 대한 보다 정교한 상한을 도출하는 것.
• 특히 한 요소가 작을 경우(예: P₁, P₂, 2P₁)에 대해, G+H의 1-평면성과 C₀ 및 C₁에 속하는 데 필요한 충분조건을 규명함으로써, G+H의 1-평면성과 클래스 소속을 특성화하는 것.
• 다양한 결합 구성 조건에서 C₁ 및 C₀ 클래스의 1-평면 그래프에 대해 간선 수에 대한 날카로운 상한을 설정하는 것.

제안 방법

• 관련 평면 그래프 G×에서 거짓 정점(교차점)의 이웃 집합의 교차 최대 크기에 기반해 1-평면 그래프를 세 클래스—C₀, C₁, C₂—로 정의한다.
• 기하학적 재그림 기법을 사용해 이웃 집합의 공통 인접점 수가 3 이상인 교차를 제거함으로써, 임의의 1-평면 그래프가 C₂에 속하도록 재그림할 수 있음을 증명한다.
• 극한 그래프 이론과 평면 그래프 성질을 적용하여 C₀ 및 C₁ 그래프의 간선 상한을 유도하며, C₀-그림은 독립적인 교차를 가지며 C₁-그림은 제한된 이웃 겹침을 允허한다는 사실을 활용한다.
• H가 경로 또는 경로의 분리합집합인 경우를 포함해, G+H의 결합 곱을 분석하기 위해 부분그래프 주도성과 구조적 제약 조건을 고려한다.
• 기존의 교차 수 결과(예: Kₘ,ₙ에 대한 것)와 구조적 구성 기법을 활용해, 상한의 날카로움을 명시적인 그래프 가족을 통해 검증한다.
• 정확한 간선 수를 갖는 특정 그래프 가족(예: Gₖ, Gₙ₋₁)을 구성함으로써, 유도된 상한이 날카로움을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n-정점 1-평면 그래프의 C₁-그림에서 가능한 최대 교차 수는 얼마이며, 이 상한은 최적 그림 뿐 아니라 일반적으로도 성립하는가?
• RQ2 C₁ 1-평면 그래프에 대해 (18/5)n − 36/5 간선 상한이 날카로운지 증명할 수 있으며, 이는 좋은 그림 뿐 아니라 모든 C₁-그림에 대해 유효한가?
• RQ3 어떤 그래프 쌍 (G,H)에 대해 G+H가 C₀ 또는 C₁에 속하는가? 이때 G와 H가 만족해야 할 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ4 G+H가 C₀ 또는 C₁에 속할 경우, 1-평면 그래프 G의 간선 수에 대해 가장 날카로운 상한은 무엇이며, 특히 H가 작을 경우(예: P₁, P₂, 2P₁) 어떻게 되는가?
• RQ5 G와 H가 모두 세 개 이상의 정점을 가질 경우, G+H의 1-평면성과 클래스 소속을 완전히 특성화할 수 있는 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 n-정점 1-평면 그래프의 C₁-그림은 최대 (3/5)n − 6/5개의 교차를 가짐을 증명하였으며, 이 상한은 최적 그림 뿐 아니라 일반적으로도 성립한다.
• 이로부터 모든 n-정점 1-평면 그래프 중 C₁에 속하는 그래프는 최대 (18/5)n − 36/5개의 간선을 가짐을 유도할 수 있으며, 이 상한은 날카로움을 보인다.
• C₁ 1-평면 그래프에 대해 (18/5)n − 36/5 간선 상한이 날카로움을, 이 간선 수를 정확히 달성하는 명시적 그래프 구성 예로 입증하였다.
• G+H는 [G,H]가 다음 쌍들 중 하나에 의해 부분그래프 주도됨과 동시에, [C₃, P₂∪P₁] 또는 [P₃, P₃]일 때에만 C₀에 속한다.
• G와 H가 모두 세 개 이상의 정점을 가진다면, G+H는 [G,H]가 [2P₂∪C₃] 또는 [P₄, P₃]에 의해 부분그래프 주도될 때에만 C₁에 속한다.
• P₁, P₂, 또는 2P₁를 포함한 소규모 그래프와의 결합에 대해, 본 논문은 날카로운 간선 상한을 도출하였다: C₀의 경우 |E(G)| ≤ 2.25|V(G)| − 2.75이며, C₁의 경우 |E(G)| ≤ 1.6|V(G)|이며, 둘 다 날카로움을 보였다.