[논문 리뷰] Three Datatype Defining Rewrite Systems for Datatypes of Integers each extending a Datatype of Naturals

J.A. Bergstra, Alban Ponse|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 12.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 자연수의 표준 항 대수를 확장하는 세 가지 기저 완전하고 기저 혼합성 있는 데이터 유형 정의 재귀법 시스템(DDRS)을 정수에 대해 제안한다: 1) 단항 표기법(0, S, P), 2) 이진 자릿수 연결 생성자, 3) 십진 자릿수 연결 생성자. 각 시스템은 표준 정수 표기법과 일치하는 유일한 정규형을 보장하며, 구조적 귀납법과 정규화 종료성 증명을 통해 기저 완전성을 입증한다.

ABSTRACT

Integer arithmetic is specified according to three views: unary, binary, and decimal notation. The binary and decimal view have as their characteristic that each normal form resembles common number notation, that is, either a digit, or a string of digits without leading zero, or the negated versions of the latter. The unary view comprises a specification of integer arithmetic based on 0, successor function $S$, and predecessor function, with negative normal forms $-S^i(0)$. Integer arithmetic in binary and decimal notation is based on (postfix) digit append functions. For each view we define a ground-confluent and terminating datatype defining rewrite system (DDRS), and in each case the resulting datatype is a canonical term algebra that extends a corresponding canonical term algebra for natural numbers. Then, for each view, we consider an alternative DDRS based on tree constructors that yield comparable normal forms, which for that binary and decimal view admits expressions that are algorithmically more involved. These DDRSes are incorporated because they are closer to existing literature. For these DDRSes we also provide ground-completeness results. Finally, we define a DDRS for the ring of Integers (comprising fifteen rewrite rules) and prove its ground-completeness.

연구 동기 및 목표

• 정수 산술의 등식적 사양을 단항, 이진, 십진 표기법이라는 세 가지 서로 다른 표기 시각을 사용하여 제공한다.
• 각 정수 표기법에 대해 기저 혼합성과 강한 종료성을 보장하는 기저 완전한 DDRS를 정의한다. 이는 정규형의 유일성을 보장한다.
• 자연수의 표준 항 대수를 정수의 해당 표준 항 대수로 확장한다.
• 기존 문헌과 일치하는 정규형 등가성을 유지하면서 기존 문헌과 더 잘 부합하는 트리 생성자를 사용한 대안적 DDRS를 제공한다.
• 모든 DDRS에 대해 기저 완전성을 증명하며, 특히 가환환 언어에서 정수의 최소한의 링 기반 사양(15개 규칙)을 포함한다.

제안 방법

• 자리수 연결 생성자(단항: S, P; 이진: 0/1 추가; 십진: 0–9 추가)를 사용하여 정수에 대한 세 가지 DDRS를 정의한다. 각 시스템은 자연수 대수를 확장한다.
• 수의 표현 방식을 표준 문법 형식에 더 가깝게 모델링하기 위해 트리 생성자(예: 이진 및 십진 자릿수 트리)를 사용하는 대안적 DDRS를 구성한다.
• 닫힌 항에 대한 구조적 귀납법을 통해 강한 종료성과 기저 혼합성을 증명하여 모든 항이 고유한 정규형으로 재작성됨을 보인다.
• 항의 구조에 대한 가중치 함수와 케이스 분석을 사용하여, 모든 닫힌 항이 정규형이거나 더 이상 단순화될 수 있음을 확인한다.
• 부록에서 기저 완전성의 형식적 증명을 제공하며, 15개 규칙를 가진 최소한의 링 기반 DDRS에 대해서도 포함한다.
• 모든 재귀법 시스템이 표준 링 공리계의 의미적 함의임을 검증하고, 정수환 Z와의 동형을 유지함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 산술은 단항, 이진, 십진 표기법이라는 세 가지 서로 다른 표기 시각을 사용하여 공식적으로 사양화할 수 있는가? 각각은 표준 표기법과 일치하는 고유한 정규형을 생성하는가?
• RQ2 제안된 DDRS는 기저 혼합성과 강한 종료성을 갖는가? 이는 모든 닫힌 항에 대해 고유한 정규형을 보장하는가?
• RQ3 기본 생성자(트리 생성자)를 기반으로 한 대안적 DDRS는 자릿수 연결 시스템과 동일한 정규형을 생성할 수 있는가? 또한 기존의 공식 문헌과 더 잘 부합하는가?
• RQ4 정수의 링(기호 {0, 1, −, +, ·})에 대한 최소한의 DDRS는 기저 완전한가? 그리고 표준 링 공리계로부터 유도되는가?
• RQ5 복잡한 생성자와 다수의 재귀 규칙를 가진 DDRS에 대해서도 기저 완전성이 형식적으로 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 정수에 대한 단항 DDRS(Zubd)는 기저 완전하며 기호 {0, S, P}를 사용하며, 음수 정수의 정규형은 −Si(0)이다.
• 이진 DDRS(Zbud)는 자릿수 연결 연산을 사용하며, 16개의 방정식으로 기저 완전성이 입증되었고, 표준 이진 표기법과 일치하는 정규형을 보장한다.
• 십진 DDRS(Zdub)는 자릿수 연결 연산을 사용하며, 16개의 방정식으로 기저 완전성이 입증되었고, 표준 십진 표기법과 일치하는 정규형을 생성한다.
• 트리 생성자를 사용하는 대안적 DDRS(Zut, Zbt, Zdt)가 정의되었고, 기저 완전성이 입증되었으며, 이는 기존 문헌과의 더 나은 일치를 제공한다.
• 기호 {0, 1, −, +, ·}를 사용하는 정수의 링에 대한 최소한의 DDRS(Zr)는 15개의 규칙로 구성되어 있으며, 기저 완전성이 입증되었다.
• 링 기반 DDRS(Zr)는 표준 의미에서 혼합성은 아니지만 기저 혼합성은 갖는다. 강한 종료성은 항에 대한 가중치 함수를 통해 증명되었다.