[논문 리뷰] Three-dimensional Fourier transforms, integrals of spherical Bessel functions, and novel delta function identities

Gregory S. Adkins|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 07.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 42인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 지수 함수의 레일리 전개와 구면 조화함수를 통한 각도 분해를 이용하여 구면 베셀 함수와 델타 함수를 포함하는 3차원 푸리에 변환을 체계적으로 평가하는 방법을 제시한다. 주요 기여는 $1/r$, $1/r^2$, 및 $\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\nabla}^2 (1/r)$의 도함수를 포함하는 새로운 항등식을 유도하기 위한 통합된 프레임워크를 제공하는 것으로, 특히 양자장론과 전자기학에서 오랫동안 애매하게 여겨져 온 Eq. (1d)의 미묘한 델타 함수 항등식을 해결한다.

ABSTRACT

We present a general approach for evaluating a large variety of three-dimensional Fourier transforms. The transforms considered include the useful cases of the Coulomb and dipole potentials, and include situations where the transforms are singular and involve terms proportional to the Dirac delta function. Our approach makes use of the Rayleigh expansion of exp(i p.r) in terms of spherical Bessel functions, and we study a number of integrals, including singular integrals, involving a power of the independent variable times a spherical Bessel function. We work through several examples of three-dimensional Fourier transforms using our approach and show how to derive a number of identities involving multiple derivatives of 1/r, 1/r^2, and delta(\vec r).

연구 동기 및 목표

• 운동량 공간에서 $p^n \hat{p}_i \cdots$를 포함하는 연산자의 3차원 푸리에 변환을 계산하기 위한 일반적이고 체계적인 접근법을 개발하는 것.
• 특히 Eq. (1d)의 $\delta(\vec{r})$ 및 $1/r^3$ 항을 포함한 특이한 항과 델타 함수를 포함하는 변환에서의 애매함을 해결하는 것.
• 구면 베셀 함수의 적분 표현을 사용하여 $1/r$, $1/r^2$, 및 $\delta(\vec{r})$의 다중 도함수를 포함하는 새로운 항등식을 유도하는 것.
• 브라이트 방정식의 맥락에서 특히 중요한 양자장론과 다체 물리학에서 분포 항등식의 사용에 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 지수 함수의 레일리 전개 $e^{i\vec{p} \cdot \vec{r}} = \sum_{\ell,m} (2\ell+1)i^\ell j_\ell(pr) P_\ell(\hat{p} \cdot \hat{r})$를 사용하여 반경 방향과 각도적 의존성을 분리한다.
• 덧셈 정리에 의해 각운동량 성분 $\hat{p}_{i_1} \cdots \hat{p}_{i_L}$를 구면 조화함수 $Y_\ell^m(\hat{p})$로 표현한다.
• 구면 조화함수의 정규직교성을 적용하여 3차원 변환을 형태 $I_{n\ell m}(\vec{r}) = \frac{i^\ell}{2\pi^2} Y_\ell^m(\hat{r}) \int_0^\infty dp\, p^{n+2} j_\ell(pr)$의 반경 적분으로 줄인다.
• 기존의 적분 표와 분포 항등식을 사용하여 반경 적분 $R_{n\ell}(r) = \int_0^\infty dp\, p^{n+2} j_\ell(pr)$를 평가한다.
• 분포 해석학과 표면 적분 항등식(일반화된 가우스 정리)을 적용하여 특이한 항을 다루고 $\delta(\vec{r})$를 포함한 항등식을 검증한다.
• 시험 함수를 테일러 급수로 전개하고 $R \to 0$ 근처에서 각도 평균을 계산하여 항등식을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동량 공간에서 $p^n \hat{p}_i \cdots$를 포함하는 연산자의 3차원 푸리에 변환을 계산하기 위한 통합된 방법을 어떻게 개발할 수 있는가?
• RQ2 왜 변환 $\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\vec{p} \cdot \vec{r}} \frac{p_i p_j}{p^2} = \frac{1}{3}\delta_{ij}\delta(\vec{r}) + \frac{1}{4\pi r^3}(\delta_{ij} - 3\hat{x}_i\hat{x}_j)$는 델타 함수 항을 포함하며, 이를 어떻게 엄밀하게 유도할 수 있는가?
• RQ3 다중 도함수를 포함하는 $1/r$, $1/r^2$, 및 $\delta(\vec{r})$에 대한 올바른 분포 항등식은 무엇인가?
• RQ4 원점에서의 특이성 존재 하에 $\delta_{ij} - 3\hat{x}_i\hat{x}_j$와 같은 텐서적 구조의 각도 의존성을 어떻게 일관되게 다룰 수 있는가?
• RQ5 분포 해석학을 사용하여 항등식 $\partial_k \left( \left(\delta_{ik}\partial_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}\partial_k \right) \frac{1}{r^2} \right) = \frac{8}{r^4} (\hat{x}_i\hat{x}_j)^2_2$를 엄밀하게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 변환 $I_d = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i\vec{p} \cdot \vec{r}} \frac{p_i p_j}{p^2}$는 엄밀하게 $\frac{1}{3}\delta_{ij}\delta(\vec{r}) + \frac{1}{4\pi r^3}(\delta_{ij} - 3\hat{x}_i\hat{x}_j)$로 유도되었으며, 구면 대칭인 델타 함수 항의 존재를 확인한다.
• 항등식 $\partial_k \left( \left(\delta_{ik}\partial_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}\partial_k \right) \frac{1}{r^2} \right) = \frac{8}{r^4} (\hat{x}_i\hat{x}_j)^2_2$는 분포 항등식으로서 성립하며, $R \to 0$ 근처에서 표면 및 체적 적분을 통해 검증되었다.
• 3차원 델타 함수는 $\delta(\vec{r}) = \frac{\delta(r)}{4\pi r^2}$로 엄밀히 확인되었으며, 걸러내기 성질과 각도 적분을 통해 유도되었다.
• 항등식 $\partial_k \left( \left(\delta_{ik}\partial_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}\partial_k \right) \delta(\vec{r}) \right) = \delta_{ij} \partial_k \partial_k \delta(\vec{r}) - \frac{1}{3} \delta_{ij} \partial_k \partial_k \delta(\vec{r})$는 분포의 관점에서 성립하는 것으로 검증되었다.
• 반경 적분 $R_{n\ell}(r) = \int_0^\infty dp\, p^{n+2} j_\ell(pr)$는 관련된 $n$과 $\ell$에 대해 평가되었으며, 이는 모든 형태의 변환 $I_{n\ell m}(\vec{r})$를 체계적으로 평가할 수 있게 하였다.
• 이 방법은 $I_a = \frac{1}{4\pi r}$ 및 $I_b = \frac{i x_i}{4\pi r^3}$와 같은 알려진 결과를 재현하고, 고계 텐서 및 특이한 경우로까지 확장하였다.