[논문 리뷰] Three remarks on one dimensional bi-Lipschitz conjugacies

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|2007. 04. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 2인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일차원 $C^r$ 원 위의 미분형 상호작용에 대한 이중 리프시츠 동형사상이 언제 반드시 $C^r$ 미분형 상호작용이 되는지를 조사한다. 등변적 버전의 고츠골트-헤들란드 보조정리(-equivariant version of the Gottschalk-Hedlund Lemma)를 사용하여, 최소성, 비자유성, 에르고딕성을 만족하는 경우, 이러한 동형사상은 $C^r$임을 증명한다. 그러나 최소성이 아닌 경우, 일반적으로 확장되지 않는다는 점을 보여주기 위해, $C^1$이 아닌 이중 리프시츠 동형사상의 구체적 예를 구성한다.

ABSTRACT

We show that bi-Lipschitz conjugacies between non singular one dimensional systems are forced to be smooth, at least in the minimal (and ergodic) case. This is however far from being true in the non minimal case. These results clarify a classical work by Ghys and Tsuboi.

연구 동기 및 목표

• 비자유적인 $C^r$ 원 위의 미분형 상호작용 간의 이중 리프시츠 동형사상이 언제 자동으로 $C^r$이 되는지 조건을 규명하기 위해.
• 기하학자 고츠골트와 츠보이의 고전적 결과—$C^1$ 동형사상이 $C^r$ 미분형 상호작용으로 확장된다는 것—이 이중 리프시츠 동형사상으로 일반화되는지 여부를 명확히 하기 위해.
• 최소성, 에르고딕성, 그리고 안정자 구조가 동형사상의 정규성에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 최소성이 아닌 경우에 이중 리프시츠 동형사상이 $C^1$이 되지 않을 수 있음을 보여주는 명시적 반례를 구성하기 위해.
• 비록 동형사상이 이중 리프시츠이더라도, 동형사상 문제를 항상 중심자 문제로 환원할 수 없다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 고전적 고츠골트-헤들란드 보조정리를 군 작용에 적용하여, 최소 작용에 대해 등변적 버전을 증명한다.
• 등변 보조정리를 사용하여, 이중 리프시츠 동형사상에서 유도되는 유계 코호몰로지가 최소성과 에르고딕성 조건 하에서 미세성의 존재를 암시함을 보인다.
• 길이가 0으로 수렴하는 구간의 수열을 구성하고, 각 구간에서 $C^\rho$ 미분형 상호작용을 정의하며, 제어된 $C^r$ 노름을 확보한다.
• 다른 비율(4/3 및 2/3)로 구간을 재스케일링하는 이중 리프시츠 사상 $\phi_0$를 정의하여, 두 개의 $C^\infty$ 미분형 상호작용 간의 동형사상을 유도한다.
• 도함수의 비율이 수렴하지 않음을 보여, $C^1$ 동형사상이 존재할 수 없음을 증명한다. 이는 도함수의 연속성에 위배된다.
• 테오퍼슨 군을 사용하여 구조를 원 위의 작용으로 접합하고, 예외적인 최소 집합을 유지하면서도, $C^1$이 아닌 동형사상 성질을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자유적인 $C^r$ 원 위의 미분형 상호작용 간의 이중 리프시츠 동형사상이 언제 반드시 $C^r$이 되는가?
• RQ2 고츠골트와 츠보이의 고전적 결과—$C^1$ 동형사상이 $C^r$ 미분형 상호작용으로 확장된다는 것—이 이중 리프시츠 동형사상으로 일반화되는가?
• RQ3 작용이 최소성이 아닐 경우, 이중 리프시츠 동형사상이 $C^1$이 되지 않을 수 있는가?
• RQ4 이중 리프시츠 설정에서 동형사상 문제는 중심자 문제로 환원 가능한가?
• RQ5 실해석적 예로, 이중 리프시츠 동형사상은 존재하지만 $C^1$ 동형사상은 존재하지 않는 경우를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 최소성, 비자유성, 에르고딕성을 만족하는 $C^r$ 원 위의 작용에 대해서는, 어떤 이중 리프시츠 동형사상도 반드시 $C^r$ 미분형 상호작용이 된다.
• 최소성이 아닌 경우, $C^\infty$ 원 위의 작용이 존재하며, 이들 간의 이중 리프시츠 동형사상은 $C^1$이 아니며, 심지어 모든 열린 구간에서 미분 가능하지 않을 수도 있다.
• 이러한 동형사상의 구성은 비수렴 비율 수열(4/3 및 2/3)을 이용한 구간 재스케일링에 의존하며, 이는 $C^1$ 정규성의 실패를 초래한다.
• 유도된 $C^\infty$ 미분형 상호작용 간에는 $C^1$ 동형사상이 존재하지 않으며, 이는 축적점에서 도함수 비율이 수렴하지 않기 때문이다.
• 동형사상은 중심자 문제로 환원될 수 없다. 비록 이중 리프시츠 동형사상이지만, 어떤 $C^1$ 사상으로도 작용이 동형이 아니기 때문이다.
• 결과는 표준 일반화를 통해 코디멘션 1의 폴리에이션과 일차원 편미분군으로까지 확장된다.