[논문 리뷰] Three-stage thermalisation of a quasi-integrable system

Leonardo Biagetti, Guillaume Cecile외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 11.

Astro and Planetary Science인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비균일 외부장 하에서 1차원 고전적 딱딱한 막대 기체에서의 삼단계 열화 과정을 조사하며, 열화가 초기 오일러 유체역학 단계, 멱법 수렴을 보이는 운동량 분포를 가진 난류 단계, 그리고 열화가 확산적으로 진행되는 점성 유체역학 단계로 나뉘어 일어남을 보여준다. 주요 기여는 준통합계에서 이 삼단계 역학의 보편적 규명이며, 점성 일반화 유체역학은 초기 및 후기 단계를 정확히 기술하지만, 난류 단계에서는 기울기 붕괴로 인해 실패한다.

ABSTRACT

We consider a system of classical hard rods or billiard balls in one dimension, initially prepared in a Bragg-pulse state at a given temperature and subjected to external periodic fields. We show that at late times the system always thermalises in the thermodynamic limit via a 3-stages process characterised by: an early phase where the dynamics is well described by Euler hydrodynamics, a subsequent where a (weak) turbulent phase is observed and where hydrodynamic gradient expansion can be broken, and a final one where the gas thermalises according to a viscous hydrodynamics. As the hard rod gas shares the same large-scale hydrodynamics as other quantum and classical integrable systems, we expect these features to universally characterise all many-body integrable systems in generic external potentials.

연구 동기 및 목표

• 외부 비균일 퍼텐셜 작용 하에서 준통합 다체계의 비평형 역학과 열화에 대한 이해.
• 주기적 외부장이 작용하는 통합성이 깨진 시스템, 예를 들어 주기적 외부장이 존재하는 시스템에서의 보편적 열화 경로 규명.
• 특히 난류 단계 동안의 동역학적 영역에서 점성 일반화 유체역학(vGHD)의 타당성 검증.
• 약한 통합성 파괴 외란이 존재하는 통합계에서 열화를 연구하기 위한 최소 모델로 딱딱한 막대 기체를 정립하기.

제안 방법

• 원형 궤도 위에 유한한 직경 d를 가진 고전적 딱딱한 막대(볼링공)로 시스템을 모델링하며, 위치에 따라 변하는 질량 m(x)과 퍼텐셜 V(x)로 기술되는 해밀토니안에 따라 운동한다.
• 주기적 외부장은 m(x) = (1 + m₀ cos(2πx/ℓ)/m)⁻¹ 및 V(x) = V₀ cos(2πx/ℓ)로 도입하여 양자계에서의 효과적 질량과 함몰을 모의한다.
• 대규모 유체역학적 거동을 기술하기 위해 일반화 유체역학(GHD)과 점성 GHD를 적용하며, 분산에서 유도된 준입자 궤적의 분산을 통해 확산 행렬을 유도한다.
• 준입자 궤적의 분산을 통해 위상공간 내 확산을 계산하며, 이는 밀도 및 속도 변동에서 유도되며, 결과적으로 확산 행렬 diag(𝒟[ρ]⁽ⁱʲ⁾)를 도출한다.
• 효과적 속도 v^eff(θ)와 가속도 a^eff(θ)를 사용하여 운동량 및 위치 분산 기여도를 계산하고, 결과를 운동량 공간에 대해 통합한다.
• 전체 위상공간 확산 텐서는 시간 t와 확산 행렬의 대각선을 곱한 형태로 표현되며, 준입자 분포의 시간에 비례한 선형 확산을 보여준다.

Figure 1: Comparison of kurtosis of the spacially integrated $\rho(\theta,x,t)$ of the exact hard rod gas dynamics (HR) with $d=1$ , and its diffusive GHD prediction, eq. ( 3 ) (the inviscid, Euler hydrodynamics at short times is also reported in black), with (a,b,c) $V_{0}=0.5,m_{0}=0$ and (d,e) $V

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 외부장이 작용하는 준통합계가 열역학적 한계에서 열화하는가?
• RQ2 열화 동역학이 보편적으로 세 가지 구분된 유체역학 단계로 분해될 수 있는가?
• RQ3 시스템의 진화 중 난류 단계에서 점성 일반화 유체역학(vGHD)는 어느 정도 실패하는가?
• RQ4 난류 단계 동안 운동량 분포의 푸리에 변환은 어떻게 행동하며, 이는 에너지 캐스케이드에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 초기 운동량 분포의 매끄러움은 어떤 조건에서 난류 단계를 억제하고 vGHD가 전체 열화 과정을 기술할 수 있도록 하는가?

주요 결과

• 시스템은 열역학적 한계에서 삼단계 과정을 통해 보편적으로 열화되며, 각각 오일러 유체역학, 멱법 수렴을 보이는 운동량 분포를 가진 난류 단계, 점성 유체역학 단계이다.
• 난류 단계 동안 운동량 분포의 푸리에 변환은 멱법 수렴을 보이며, 이는 이중차원 파동 난류 현상론과 일치한다.
• 점성 일반화 유체역학은 초기 오일러 단계와 최종 열화 단계를 정확히 기술하지만, 난류 단계에서는 기울기 붕괴로 인해 실패한다.
• 준입자 궤적의 위상공간 분산은 시간에 따라 확산적으로 증가하며, 이의 계수는 확산 행렬 𝒟[ρ]⁽ⁱʲ⁾의 대각선에 의해 주어진다.
• 초기 운동량 분포가 매끄럽을 경우(예: 고온), 난류 단계가 억제되며, 이에 따라 vGHD가 전체 열화 과정을 기술할 수 있다.
• 비록 고전적 성격을 지닌 딱딱한 막대 기체이지만, 양자 및 고전적 통합계와 동일한 대규모 유체역학을 공유하며, 이는 보편적 열화 경로를 시사한다.

Figure 2: GHD evolution, eq. ( 3 ), with $m_{0}=0$ and $V_{0}=0.5$ and $\ell=80$ , initialised in a Bragg pulse state with $T_{0}=0.01$ : (top) density plot of the density $\rho(\theta,x,t)$ as function of momentum $\theta$ and position $x$ at different times, for rods with length $d=1$ . (bottom) L