[논문 리뷰] Throttling numbers for adversaries on connected graphs

Jesse Geneson|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 17.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 나무의 스로틀링 수에 대한 두 개의 열린 문제를 해결하며, 스로틀링 수에 대한 더 날카운 상한을 증명함으로써 나무에 대해 $\frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$의 상한을 제시하고, 이는 이전의 $2\sqrt{n}$ 상한을 향상시킨다. 또한, 카투스 그래프에 대해 $O(\sqrt{n})$ 상한을 확립하고, 특정 나무에 대해 $1.4502\sqrt{n}$의 새로운 하한을 제시함으로써, $2\sqrt{n}$ 추측이 점점 커짐에 따라 성립하지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we answer two open problems from [Breen et al., Throttling for the game of Cops and Robbers on graphs, Discrete Math., 341 (2018) 2418-2430]. The throttling number $th_c(G)$ of a graph $G$ is the minimum possible value of $k + capt_k(G)$ over all positive integers $k$, where $capt_k(G)$ is the number of rounds needed for $k$ cops to capture the robber on $G$. One of the problems from [Breen et al., 2018] was to determine whether there exists a family of trees $T$ of order $n$ for which $th_c(T)$ is asymptotically equal to $2 \sqrt{n}$. We show that such a family cannot exist by improving the upper bound on $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ for all trees $T$ of order $n$ from $2 \sqrt{n}$ to $\frac{\sqrt{14}}{2} \sqrt{n} + O(1)$. We prove this bound by deriving a more general throttling bound for connected graphs that applies to multiple graph adversaries, including the robber and the gambler. This also improves the best known upper bounds on $th_c(G)$ for chordal graphs and unicyclic graphs $G$, as well as throttling numbers for positive semidefinite (PSD) zero forcing on trees. In addition to the results about cop versus robber, we use our general throttling bound to improve previous upper bounds on throttling numbers for the cop versus gambler game on connected graphs. Another open problem from [Breen et al., 2018] was to obtain a bound on $th_c(G)$ for cactus graphs $G$. We prove an $O(\sqrt{n})$ bound for all cactus graphs $G$ of order $n$. Furthermore, we exhibit a family of trees $T$ of order $n$ that have $th_c(T) > 1.4502 \sqrt{n}$ for all $n$ sufficiently large, improving on the previous lower bound of $\lceil \sqrt{2n}-\frac{1}{2} ceil + 1$ on $\displaystyle \max_{T} th_c(T)$ for trees $T$ of order $n$.

연구 동기 및 목표

• 어느 나무의 가족이 스로틀링 수 $\operatorname{th_c}(T)$ 가 점점 커짐에 따라 $2\sqrt{n}$ 과 점근적으로 같을 수 있는지 여부를 해결하기 위해.
• 나무, 체로널 그래프, 유니사이클릭 그래프, 카투스 그래프에 대해 스로틀링 수의 더 날카운 상한을 확립하기 위해.
• 순서 $n$ 의 나무에 대해 최대 스로틀링 수에 대한 기존 하한을 향상시키기 위해.
• 통합 분석 방법을 통해 다수의 적에 대한 스로틀링 프레임워크를 확장하기 위해.

제안 방법

• 코프-로버 게임과 코프-게이머 게임을 포함한 여러 그래프 적에 적용 가능한 일반 스로틀링 상한을 유도한다.
• 스파이더 다리에서 길이 $\lfloor r\sqrt{n}\rfloor$ 의 간격을 잘라내는 기하적 분할 전략을 사용하여 포획 시간과 경찰 수를 제한한다.
• 그래프 구조에 걸쳐 경찰 수와 포획 시간을 균형 있게 맞추기 위해 최적화 기법을 적용하여 $k + \operatorname{capt}_k(G)$ 의 최소화를 도모한다.
• 짧은 다리가 $\lfloor a\sqrt{n}\rfloor$ 개이고 길이가 $\lfloor c\sqrt{n}\rfloor$ 인 불균형 스파이더를 구성하여 하한을 유도한다.
• 짧은 다리가 초기에 경찰에 의해 점령되어 있는지 여부에 따라 경우의 수 분석을 수행하여 스로틀링 수를 제한한다.
• 나무에서 코프-로버 스로틀링과 양의 정부호(PSD) 제로 포지셔닝 스로틀링 간의 알려진 등가성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스로틀링 수 $\operatorname{th_c}(T)$ 가 점점 커짐에 따라 $2\sqrt{n}$ 과 점근적으로 같은 나무의 가족이 존재하는가?
• RQ2 카투스 그래프의 스로틀링 수가 $O(\sqrt{n})$ 으로 제한될 수 있는가?
• RQ3 모든 순서 $n$ 의 나무 $T$ 에 대해 $\max_T \operatorname{th_c}(T)$ 의 최선의 가능한 하한은 무엇인가?
• RQ4 코프-로버와 코프-게이머와 같은 여러 적에 대해 적용 가능한 통합 스로틀링 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 임의의 다리 길이를 가진 스파이더에 대해 스로틀링 수의 가장 날카운 상한은 무엇인가?

주요 결과

• 순서 $n$ 의 임의의 나무 $T$ 에 대해 스로틀링 수는 $\frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$ 이하이며, 이는 이전의 상한인 $2\sqrt{n}$ 보다 향상된 것이다.
• 순서 $n$ 의 모든 카투스 그래프 $G$ 에 대해 $\operatorname{th_c}(G) = O(\sqrt{n})$ 이며, 이는 Breen 등(2018)에서 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 불균형 스파이더 $S_{n,a,c}$ 의 가족은 모든 충분히 큰 $n$ 에 대해 $\operatorname{th_c}(S_{n,a,c}) > 1.4502\sqrt{n}$ 를 달성하며, 이는 이전의 하한 $\left\lceil \sqrt{2n} - \frac{1}{2} \right\rceil + 1$ 보다 향상된 것이다.
• 모든 순서 $n$ 의 스파이더 $S$ 에 대해 $\operatorname{th_c}(S) \leq \sqrt{3}\sqrt{n} + O(1)$ 이며, 이는 길이가 다를 수 있는 다리가 있는 스파이더를 포함하여 모든 스파이더에 대해 성립한다.
• 일반 스로틀링 상한 기법은 로버를 넘어서 다른 적, 예를 들어 게이머에게도 적용 가능하며, 기대 포획 시간에 대한 알려진 상한을 향상시킨다.
• 결과는 나무에서 양의 정부호(PSD) 제로 포지셔닝 스로틀링으로까지 확장되며, 모든 나무 $T$ 에 대해 $\operatorname{th_+}(T) \leq \frac{\sqrt{14}}{2}\sqrt{n} + O(1)$ 이 성립함을 확인한다.