[논문 리뷰] Through the Haze: a Non-Convex Approach to Blind Gain Calibration for Linear Random Sensing Models

Valerio Cambareri, Laurent Jacques|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 27.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 45인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 선형 랜덤 센싱 모델에서 알려지지 않은 신호와 알려지지 않은 양의 이득을 노이즈가 있는 곱셈 측정치로부터 복원해야 하는 빌드 게인 캘리브레이션 문제를 해결하기 위해 비볼록 투영 경사 하강 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 알려진 수의 측정치에 대해 알려진 이론적 정확 복원을 달성하며, 알려진 이론적 복원의 샘플 복잡도가 알려진 이론적 복원의 수준에서 선형적으로(로그 인자까지) 증가하고, 노이즈가 존재할 경우 오차가 부드럽게 악화되는 수렴 성질을 보인다.

ABSTRACT

Computational sensing strategies often suffer from calibration errors in the physical implementation of their ideal sensing models. Such uncertainties are typically addressed by using multiple, accurately chosen training signals to recover the missing information on the sensing model, an approach that can be resource-consuming and cumbersome. Conversely, blind calibration does not employ any training signal, but corresponds to a bilinear inverse problem whose algorithmic solution is an open issue. We here address blind calibration as a non-convex problem for linear random sensing models, in which we aim to recover an unknown signal from its projections on sub-Gaussian random vectors, each subject to an unknown positive multiplicative factor (or gain). To solve this optimisation problem we resort to projected gradient descent starting from a suitable, carefully chosen initialisation point. An analysis of this algorithm allows us to show that it converges to the exact solution provided a sample complexity requirement is met, i.e., relating convergence to the amount of information collected during the sensing process. Interestingly, we show that this requirement grows linearly (up to log factors) in the number of unknowns of the problem. This sample complexity is found both in absence of prior information, as well as when subspace priors are available for both the signal and gains, allowing a further reduction of the number of observations required for our recovery guarantees to hold. Moreover, in the presence of noise we show how our descent algorithm yields a solution whose accuracy degrades gracefully with the amount of noise affecting the measurements. Finally, we present some numerical experiments in an imaging context, where our algorithm allows for a simple solution to blind calibration of the gains in a sensor array.

연구 동기 및 목표

• 실제 적용에서 흔한 문제이지만 알려지지 않은 양의 이득에 의해 손상된 선형 랜덤 센싱 시스템에서의 신호 복원 문제를 해결한다.
• 신호와 이득에 대한 사전 지식이 전혀 없이, 둘 다 동시에 복원하는 학습이 없는(블라인드) 캘리브레이션 방법을 개발한다.
• 이득에 대한 약한 가정과 샘플 복잡도에 기반한 정확 복원을 위한 이론적 보장을 수립한다.
• 신호와 이득에 대한 부분공간 사전 정보를 포함하여 프레임워크를 확장함으로써 필요한 측정치의 수를 줄인다.
• 노이즈에 대한 강건성을 분석하여 노이즈 수준이 증가할수록 복원 정확도가 어떻게 악화되는지 분석한다.

제안 방법

• 측정치의 데이터 피팅 목적 함수를 최소화하는 방식으로, 공동의 신호-이득 공간에서 비볼록 최적화 문제로 빌드 게인 캘리브레이션을 수식화한다.
• 전역 최소값으로 수렴할 수 있도록 철저히 설계된 초기화 점을 사용하는 투영 경사 하강법을 적용한다.
• 각 측정치가 서브-가우시안 랜덤 벡터에 대한 신호의 투영이지만, 알려지지 않은 양의 이득에 의해 스케일링된 이중선형 센싱 모델을 사용한다.
• 서브-가우시안 벡터의 통계적 성질을 활용하여 측정치의 일阶 모멘트를 기반으로 구조화된 초기화를 도입한다.
• 사전 정보가 있을 경우 이득 부분공간과 신호 부분공간에 대한 투영을 적용하여 반복 계산값이 타당 영역 내에 유지되도록 한다.
• 이득이 항등행렬에서 너무 멀리 떨어져 있지 않은 가정 하에, 랜덤 행렬의 스펙트럼 성질과 농도 부등식을 사용하여 수렴 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 랜덤 센싱 모델에서 학습 신호 없이도 알려지지 않은 이득을 빌드 캘리브레이션할 수 있을까? 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ2 신호와 이득을 정확하게 복원하기 위해 필요한 최소 측정치 수(샘플 복잡도)는 얼마인가?
• RQ3 신호와 이득에 부분공간 사전 정보가 있을 경우, 필요한 샘플 복잡도는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 노이즈가 존재할 경우 알고리즘의 성능은 어떠한가? 노이즈 수준이 증가할수록 오차는 어떻게 악화되는가?
• RQ5 실제 가정 조건 하에 제안된 비볼록 최적화 방법이 참값으로 높은 확률로 수렴할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 투영 경사 하강 알고리즘은 측정치 수가 mp = O((m + n) log²(mp))를 만족할 경우, n = O(log mp) 조건 하에 높은 확률로 정확한 해로 수렴한다.
• 샘플 복잡도는 알려진 이론적 복원의 수준에서 알려진 이론적 복원의 수준에서 선형적으로 증가하며(로그 인자까지), 이는 정보 이론적 하한선에 따라 최적임을 의미한다.
• 신호와 이득에 부분공간 사전 정보가 존재할 경우, 필요한 측정치의 수가 추가로 감소하여 효율성이 향상된다.
• 노이즈가 존재하는 경우, 알고리즘의 복원 오차는 노이즈 수준 σ와 신호 노름 ∥z∥에 비례하여 부드럽게 악화되며, 이는 O(σ∥z∥)로 유계이다.
• 이론적 분석 결과, 이득이 ℓ∞-노름에서 유계이면서 항등행렬에서 너무 멀리 떨어져 있지 않은 경우(즉, ∥g − 1m∥∞ ≤ δ, 작은 δ에 대해) 수렴이 보장됨을 보였다.
• 영상 처리 응용 분야에서의 수치 실험 결과는 방법의 실용적 타당성을 확인하였으며, 센서 어레이의 이득에 대해 단순하고 정확한 빌드 캘리브레이션을 가능하게 한다.