[논문 리뷰] Tidal evolution of the Keplerian elements

Gwenaël Boué, Michael Efroimsky|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 03.

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한 줄 요약

이 논문은 두 개체체계에서 양측 모두에 tidal 작용이 존재할 경우 keplerian 궤도 요소(a, e, i)의 조수 진화 속도를 재유도하며, 이는 이전 연구—특히 Kaula(1964)의 수식—에서의 오류를 수정한다. 연구에서는 태반축과 이심률의 진화 속도는 양측 기여를 선형으로 합할 수 있지만, 각운동량 보존과 아파수스 전진 평균화로 인해 기울기 속도 di/dt에 비선형 보정이 필요하다는 점을 보여주며, 이로 인해 중복된 M/(M+M') 인자 제거와 주체의 적응 평면 조정으로 인한 새로운 항이 포함된 개선된 표현식을 도출한다.

ABSTRACT

We address the expressions for the rates of the Keplerian orbital elements within a two-body problem perturbed by the tides in both partners. The formulae for these rates have appeared in the literature in various forms, at times with errors. We reconsider, from scratch, the derivation of these rates and arrive at the Lagrange-type equations which, in some details, differ from the corresponding equations obtained previously by Kaula (1964). We also write down detailed expressions for $da/dt$, $de/dt$ and $di/dt$, to order $e^4$. They differ from Kaula's expressions which contain a redundant factor of $M/(M+M^{\prime}),$ with $M$ and $M^{\prime}$ being the masses of the primary and the secondary. As Kaula was interested in the Earth-Moon system, this redundant factor was close to unity and was unimportant in his developments. This factor, however, must be reinstated when Kaula's theory is applied to a binary composed of partners of comparable masses. We have found that, while it is legitimate to simply sum the primary's and secondary's inputs in $da/dt$ or $de/dt$, this is not the case for $di/dt$. So our expression for $di/dt$ differs from that of Kaula in two regards. First, the contribution due to the dissipation in the secondary averages out when the apsidal precession is uniform. Second, we have obtained an additional term which emerges owing to the conservation of the angular momentum: a change in the inclination of the orbit causes a change of the primary's plane of equator.

연구 동기 및 목표

• 두 개체체계에서 양측 모두에 tidal 작용이 존재할 경우 keplerian 궤도 요소(a, e, i)의 조수 진화 속도를 재유도하여 이전 수식의 모순을 수정한다.
• Kaula(1964)의 da/dt, de/dt, di/dt 수식에 포함된 중복된 M/(M+M') 인자를 식별하고 수정하며, 이는 지구-월구 시스템에서는 무시 가능하지만 유사 질량 이중성계에서는 매우 중요하다.
• 각운동량 보존과 아파수스 전진 평균화를 고려함으로써 di/dt의 비선형적 행동을 해결하며, 단순한 조합 가정이 성립하지 않음을 밝힌다.
• 조수 품질 함수, Love 수치, 궤도 매개변수를 바탕으로 da/dt, de/dt, di/dt에 대해 고차항(최대 e⁴까지)을 포함한 명시적 표현식을 제공한다.
• 비 관성(공전하는) 기준계에서 궤도 요소의 기준계 의존성에 대해 명확히 하고, 이러한 환경에서 라그랑주 유형 방정식을 잘못 사용한 점을 수정한다.

제안 방법

• Kaula(1964)의 일반 rheology에 대한 전개를 사용해 조수 교란 잠재력을 재유도하며, 생략된 단계를 보완하고 암묵적인 근사치를 식별한다.
• Kaula가 사용한 M≫M' 근사치를 피하기 위해 감소 질량 β = MM'/(M+M')를 사용한 일반적인 이중체 운동 방정식을 적용한다.
• 공전하는 기준계에서 라그랑주 행 星 방정식을 적용하며, 비 관성 효과를 고려해 표준 교란 함수 외에 추가 항을 포함한다.
• 조수 강제력의 푸리에 모드 전개를 사용해 캐논리컬 변수에 대해 교란 함수를 미분함으로써 궤도 요소(da/dt, de/dt, di/dt)의 시간 도함수를 계산한다.
• di/dt의 비선형 결합 효과를 분석하기 위해 ω, Ω, i, i′에 대한 의존성을 분석하고, 균일한 아파수스 전진 조건에서 사라지는 항을 식별한다.
• 장기 주기 항은 J₂ 잠재력 기여를 포함하고 평균 궤도 각도에 대해 평균화하여 di/dt의 장기적 및 진동 성분을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 Kaula(1964)의 di/dt 수식에 중복된 M/(M+M') 인자가 존재하며, 이는 언제 중요한가?
• RQ2 da/dt와 de/dt에 대해 단순한 조합 가정이 성립하는 조건은 무엇이며, 왜 di/dt에는 실패하는가?
• RQ3 특히 각운동량 보존과 아파수스 전진이 기여하는 물리적 메커니즘은 무엇이며, Kaula 수식에 존재하지 않는 di/dt의 새로운 항을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ4 da/dt, de/dt, di/dt는 궤도 이심률 e에 대해 O(e⁴)까지 어떻게 의존하는가? 주요 강제 주파수는 무엇인가?
• RQ5 보조 천체의 조수 에너지 소산은 주체의 기울기 진화에 어떤 역할을 하는가? 왜 균일한 아파수스 전진 조건에서는 평균화되어 사라지는가?

주요 결과

• di/dt 수식은 Kaula(1964)와 근본적으로 다름: 보조 천체의 조수 소산 기여는 균일한 아파수스 전진 조건에서 평균화되고, 궤도 기울기 변화에 따라 주체의 적도 평면 이동에 의해 새로운 항이 발생한다.
• 유사 질량 이중성계에 적용할 경우 Kaula 수식의 중복 인자 M/(M+M')는 제거되어야 하며, 이는 da/dt, de/dt, di/dt에 심각한 오차를 초래하기 때문이다.
• da/dt와 de/dt의 경우 주체와 보조 천체의 기여를 선형으로 합할 수 있지만, di/dt의 경우 기준계 의존성과 비선형 결합 효과로 인해 성립하지 않는다.
• di/dt의 주요 항은 sin i와 조수 품질 함수 K₂(ω)에 비례하며, 주파수 의존 강제(예: K₂(n−2θ), K₂(2n−2θ) 등)와 주체의 자전 속도 ˙θ를 포함한 새로운 항이 포함된다.
• 논문은 e⁴까지의 고정밀도 표현식을 제공하며, (lmpq) = (220q), (210q), (211q) 모드의 기여를 포함하고, 이심률과 기울기 보정을 수행한다.
• di/dt의 장기 주기 진동 항은 J₂ 잠재력 기여를 포함하고 평균 궤도 각도에 대해 평균화함으로써 유도되며, 보조 천체의 중력 잠재력과 조수 반응으로 인한 추가 조절 성분을 드러낸다.