[논문 리뷰] Tidy subgroups for commuting automorphisms of totally disconnected groups: an analogue of simultaneous triangularisation of matrices

George A. Willis|ArXiv.org|2003. 02. 18.

Protein Tyrosine Phosphatases참고 문헌 8인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 완전히 산만한 국소적으로 컴act한 군의 가환 자동형사상에 대해 동시 삼각화의 유사체를 정의하기 위해 공통의 정돈된 부분군의 개념을 도입함으로써 그 이론을 확장한다. 유한한 수의 가환 자동형사상이 공통의 정돈된 부분군을 갖는다는 것을 증명하고, 반대로 공통의 정돈된 부분군을 갖는 자동형사상의 군은 그 부분군을 보존하는 자동형사상들을 모odulo로 하여 아벨 군이 된다는 것을 보인다. 이러한 군의 구조는 고유값 유사 부분군과 고유값 유사 실수 특성으로 더 깊이 특성화된다.

ABSTRACT

Let αbe an automorphism of the totally disconnected group G. The compact open subgroup, V, if G is tidy for αif [α(V') : α(V')\cap V'] is minimised at V, where V' ranges over all compact open subgroups of G. Identifying a subgroup tidy for αis analogous to identifying a basis which puts a linear transformation into Jordan canonical form. This analogy is developed here by showing that commuting automorphisms have a common tidy subgroup of G and, conversely, that a group H of automorphisms having a common tidy subgroup V is abelian modulo the automorphisms which leave V invariant. Certain subgroups of G are the analogues of eigenspaces and corresponding real characters of H the analogues of eigenvalues.

연구 동기 및 목표

• 기존에 단일 자동형사상에 대해 정의된 정돈된 부분군 이론을 유한한 수의 가환 자동형사상으로 확장하기.
• 유한한 수의 가환 자동형사상이 공통의 정돈된 부분군을 갖는 조건을 확립하기.
• 공통의 정돈된 부분군을 공유하는 자동형사상 군의 대수적 구조를 특성화하기.
• 완전히 산만한 군의 자동형사상 맥락에서 고유공간과 고유값의 유사체를 도입하기.
• 지역 정돈된 부분군을 갖는 자동형사상 군에 대해 랭크, 인수 수, 코랭크 군과 같은 불변량을 개발하기.

제안 방법

• 이전 연구에서 유도된 정돈 절차를 변형하여 유한한 수의 가환 자동형사상에 대해 공통의 정돈된 부분군을 생성한다.
• T1 성질의 개선된 형태를 도입한다: 컴 pact 열린 부분군 V가 다수의 자동형사상 α₁,…,αₙ에 대해 정돈된 것은, 각 αⱼ가 확장, 수축 또는 중립적으로 작용하는 부분군 Vₐ로 분해될 수 있음을 의미한다.
• 각 자동형사상 α ∈ H에 대해 스케일 유사 요소를 부여하는 호모모르피즘 φ: H → ℚ⁺의 집합 Φ를 정의한다. 이는 고유값과 유사하다.
• H → ℤⁿ의 호모모르피즘의 상으로서 랭크 군 R(H)를 구성하고, 코랭크 군 AH = (⊕φ∈Φ ℤ)/R(H)를 정의한다. 이는 웨일 군과 그 작용과 유사하다.
• 모듈러 함수와 스케일 함수 성질(s(αⁿ) = s(α)ⁿ, ∆(α) = s(α)/s(α⁻¹)⁻¹)을 이용하여 자동형사상 군의 구조를 분석한다.
• Aut(G)에서 H의 정규화자를 이용하여 Φ에 대한 순열 작용을 정의하고, 이 작용이 R(H)와 AH에 대한 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 산만한 군의 유한한 수의 가환 자동형사상이 공통의 정돈된 부분군을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 공통의 정돈된 부분군을 공유하는 자동형사상 군 H의 대수적 구조는 무엇으로 특성화되는가?
• RQ3 선형 대수학에서의 고유값과 고유공간 개념은 완전히 산만한 군의 자동형사상 맥락에서 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 지역 정돈된 부분군을 갖는 자동형사상 군에 대해 랭크, 인수 수, 코랭크 군과 같은 불변량은 무엇으로 연결될 수 있는가?
• RQ5 Aut(G)에서 H의 정규화자는 스케일 호모모르피즘 집합 Φ에 어떻게 작용하는가? 그리고 이 작용은 군의 구조에 대해 무엇을 드러내는가?

주요 결과

• 완전히 산만한 국소적으로 컴팩트한 군의 유한한 수의 가환 자동형사상은 공통의 정돈된 부분군을 갖는다.
• 자기 자동형사상 군 H가 공통의 정돈된 부분군 V를 갖는다면, H는 V를 보존하는 자동형사상들의 부분군을 모odulo로 하여 아벨 군이 된다.
• 각 자동형사상이 확장, 수축 또는 중립적으로 작용하는 부분군 Vₐ로 H가 분해될 수 있으며, 이는 일반화된 고유공간과 유사하다.
• 각 α ∈ H에 대해 스케일 함수 s(α)는 이러한 부분군에서의 국소적 확장 인자들의 곱으로 표현될 수 있으며, 이는 고유값과 유사하다.
• 인수 수 f.n.(H)는 Φ에 속한 서로 다른 스케일 호모모르피즘 φ의 수이며, 예제 6.11에서 f.n.(H) = 6이다. 이때 H ≤ SL(3, ℚₚ).
• 코랭크 군 AH는 예제 6.11에서 ℤ⁴와 동형이며, 예제 6.17에서는 ℤ와 동형이다. 이는 이러한 불변량이 최대 부분군 간에 유일하지 않음을 보여준다.