[논문 리뷰] Tight Analysis of Priority Queuing Policy for Egress Traffic

Jun Kawahara, Koji Kobayashi외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 25.

Optimization and Search Problems참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다중 우선순위 수준을 가진 QoS 스위치에서 출구 트래픽을 위한 우선순위 큐잉(PQ) 정책에 대한 날카운 경쟁 분석을 제공한다. PQ의 정확한 경쟁 비율을 $2 - \min_{x \in [1,m-1]} \left\{ \frac{\alpha_{x+1}}{\sum_{j=1}^{x+1} \alpha_j} \right\}$로 유도하며, 모든 결정적 온라인 알고리즘에 대해 $1 + \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha}{\alpha^4 + 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 4\alpha + 1}$의 매칭되는 하한을 확립하여, 이 정책에 대한 최악의 경우 분석에서 격차를 완전히 해소한다.

ABSTRACT

Recently, the problems of evaluating performances of switches and routers have been formulated as online problems, and a great amount of results have been presented. In this paper, we focus on managing outgoing packets (called {\em egress traffic}) on switches that support Quality of Service (QoS), and analyze the performance of one of the most fundamental scheduling policies {\em Priority Queuing} ($PQ$) using competitive analysis. We formulate the problem of managing egress queues as follows: An output interface is equipped with $m$ queues, each of which has a buffer of size $B$. The size of a packet is unit, and each buffer can store up to $B$ packets simultaneously. Each packet is associated with one of $m$ priority values $α_{j}$ ($1 \leq j \leq m$), where $α_{1} \leq α_{2} \leq \cdots \leq α_{m}$, $α_{1} = 1$, and $α_{m} = α$ and the task of an online algorithm is to select one of $m$ queues at each scheduling step. The purpose of this problem is to maximize the sum of the values of the scheduled packets. For any $B$ and any $m$, we show that the competitive ratio of $PQ$ is exactly $2 - \min_{x \in [1, m-1] } \{ \frac{ α_{x+1} }{ \sum_{j = 1}^{x+1} α_{j} } \}$. That is, we conduct a complete analysis of the performance of $PQ$ using worst case analysis. Moreover, we show that no deterministic online algorithm can have a competitive ratio smaller than $1 + \frac{ α^3 + α^2 + α}{ α^4 + 4 α^3 + 3 α^2 + 4 α+ 1 }$.

연구 동기 및 목표

• QoS 스위치에서 외부로 나가는 패킷(출구 트래픽)을 관리하기 위한 우선순위 큐잉(PQ) 정책의 성능을 경쟁 분석을 통해 분석하는 것.
• 여러 우선순위 수준과 유한한 버퍼 크기를 고려하여, 악성 입력 시퀀스 하에서 PQ의 정확한 경쟁 비율을 유도하는 것.
• 동일한 모델에서 모든 결정적 온라인 알고리즘에 대한 경쟁 비율의 하한을 확립하는 것.
• 이 스케줄링 환경에서 상한(즉, PQ의 성능)과 하한(최고의 결정적 알고리즘) 사이의 격차를 해소하는 것.

제안 방법

• m개의 우선순위 큐를 가진 온라인 문제로 출구 트래픽 관리를 수식화하며, 각 큐의 크기는 B이며, 패킷의 값은 α₁ ≤ α₂ ≤ ... ≤ αₘ이다.
• 경쟁 분석을 통해 악성 입력 시나리오에서 온라인 알고리즘(ON)의 성능을 최적의 오프라인 알고리즘(OPT)과 비교한다.
• 시간에 따라 패킷 도착 및 스케줄링 이벤트를 고려하여 OPT 대비 ON 성능 비율을 최대화하는 적대적 입력 시퀀스를 구성한다.
• 모든 가능한 적대적 구성에 대해 최대 성능 비율의 최소값을 구함으로써 경쟁 비율을 유도한다.
• 적대적 구성에서 x, y, z의 임계값을 최적화하여 경쟁 비율 표현식을 최소화하는 데 최적화 기법을 적용한다.
• 모든 결정적 온라인 알고리즘의 최악의 성능을 분석하여 하한을 유도하며, α를 포함한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m개의 우선순위 큐와 유한한 버퍼 크기 B를 가진 스위치에서 출구 트래픽에 대한 우선순위 큐잉(PQ) 정책의 정확한 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ2 PQ의 경쟁 비율은 날카럽게 경계될 수 있으며, 그 성능과 이론적 하한 사이의 격차를 메울 수 있는가?
• RQ3 이 출구 트래픽 스케줄링 모델에서 어떤 결정적 온라인 알고리즘도 달성할 수 있는 최고의 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ4 PQ의 경쟁 비율은 우선순위 값 α₁, ..., αₘ에 따라 어떻게 달라지며, 특히 연속 우선순위 간의 비율에 따라 어떻게 영향을 받는가?
• RQ5 이 분석은 크기가 다른 패킷이나 공정성과 같은 다른 目적 함수(예: 패킷 값의 합이 아닌 경우)로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 우선순위 큐잉(PQ)의 경쟁 비율은 정확히 $2 - \min_{x \in [1,m-1]} \left\{ \frac{\alpha_{x+1}}{\sum_{j=1}^{x+1} \alpha_j} \right\}$이며, 이는 연속 우선순위 수준 간 상대적 값에 따라 달라진다.
• 이 경쟁 비율은 날카롭게 경계되어 있으며, 이 모델 하에서 어떤 적대적 입력 시퀀스도 PQ의 성능 비율을 더 악화시킬 수 없다.
• 모든 결정적 온라인 알고리즘에 대해 $1 + \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha}{\alpha^4 + 4\alpha^3 + 3\alpha^2 + 4\alpha + 1}$의 하한이 증명되었으며, 이는 최악의 경우 어떤 알고리즘도 이 비율을 초월할 수 없음을 보여준다.
• 상한(PQ의 성능)과 하한 사이의 격차가 완전히 해소되어, 이 모델에서 PQ가 경쟁 분석의 관점에서 최적임을 입증한다.
• 분석 결과, PQ의 최악의 성능은 고급과 저급 우선순위 값 간 비율에 매우 민감하며, α가 클수록 더욱 심각한 영향을 받는다.
• 유도된 하한은 1보다 크므로, 어떤 결정적 온라인 알고리즘도 모든 경우에 최적일 수 없음을 나타낸다. 즉, 우선순위를 완전히 알고 있더라도 항상 최적은 아님을 의미한다.