[논문 리뷰] Tight Approximations of Dynamic Risk Measures

Dan A. Iancu, Marek Petrik외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2011. 06. 30.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다기준 동적 위험 측정 프레임워크를 비교한다: 누적 미래 비용에 단일 일관된 위험 측도를 적용하는 것과 일단 조건부 위험 매핑을 조합하는 것. 근사의 날카운도를 측정하는 지표를 도입하여, 가장 날카운 상한은 정확히 기술 가능하지만, 가장 날카운 하한은 그렇지 않으며, 일반적으로 NP-난이도로 계산되지만 특정 경우(예: 조건부 VaR)에서는 다항 시간 알고리즘이 존재한다.

ABSTRACT

This paper compares two different frameworks recently introduced in the literature for measuring risk in a multi-period setting. The first corresponds to applying a single coherent risk measure to the cumulative future costs, while the second involves applying a composition of one-step coherent risk mappings. We summarize the relative strengths of the two methods, characterize several necessary and sufficient conditions under which one of the measurements always dominates the other, and introduce a metric to quantify how close the two risk measures are. Using this notion, we address the question of how tightly a given coherent measure can be approximated by lower or upper-bounding compositional measures. We exhibit an interesting asymmetry between the two cases: the tightest possible upper-bound can be exactly characterized, and corresponds to a popular construction in the literature, while the tightest-possible lower bound is not readily available. We show that testing domination and computing the approximation factors is generally NP-hard, even when the risk measures in question are comonotonic and law-invariant. However, we characterize conditions and discuss several examples where polynomial-time algorithms are possible. One such case is the well-known Conditional Value-at-Risk measure, which is further explored in our companion paper [Huang, Iancu, Petrik and Subramanian, "Static and Dynamic Conditional Value at Risk" (2012)]. Our theoretical and algorithmic constructions exploit interesting connections between the study of risk measures and the theory of submodularity and combinatorial optimization, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 다기준 의사결정 환경에서 누적 비용에 적용된 정적 위험 측도와 일단 조건부 매핑을 통한 조합적 위험 측도의 상대적 강점을 비교하기 위해.
• 동적 환경에서 한 위험 측도가 다른 위험 측도를 지배하는 데 필요한 필수 조건과 충분 조건을 기술하기 위해.
• 정적 위험 측도가 조합적 측도에 의해 얼마나 날카운지 측정할 수 있는 지표를 도입하기 위해.
• 지배성 테스트와 근사 요인 계산의 계산 복잡도를 조사하며, 특히 공동모수성과 법 불변성 하에서의 복잡도 경계를 밝히기 위해.
• 일반적으로 NP-난이도임에도 불구하고 다항 시간 알고리즘이 존재하는 처리 가능한 경우—특히 조건부 VaR에 대해—를 특정하기 위해.

제안 방법

• 정적 위험 측도와 조합적 위험 측도 간의 근사 날카운도를 측정하기 위해 최적 스케일링 인자 $\alpha^\star$ 라고 표기하는 지표를 제안한다.
• 특히 왜곡 위험 측도와 최악의 경우 연산자와의 조합을 중심으로 하여, 코셰트 적분 표현과 왜곡 함수를 사용해 위험 측도를 모델링한다.
• 근사 문제의 구조적 성질과 알고리즘적 경계를 유도하기 위해, 부분합성과 조합 최적화 도구를 사용한다.
• 특히 균일한 확률 측도를 가진 시나리오 트리의 맥락에서 위험 측도 간의 지배 조건을 분석하기 위해 능력 이론과 쌍대 표현 이론을 활용한다.
• 특정 설정—예를 들어 균일한 시나리오 트리와 왜곡 위험 측도—에서 최적 근사 요인 $\alpha^\star$ 의 닫힌 형태 표현을 유도한다.
• 동적 프로그래밍과 시간 일관성 위험 측도 프레임워크를 연결하기 위해 벨먼 원리와 재귀적 위험 평가를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다기준 동적 설정에서 정적 위험 측도가 조합적 측도를 지배하거나 그 반대가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정적 위험 측도는 조합적 측도에 의해 얼마나 날카운지 근사할 수 있으며, 가장 좋은 근사 요인은 무엇인가?
• RQ3 왜 가장 날카운 상한 근사는 닫힌 형태로 기술 가능한 데 반해, 가장 날카운 하한 근사는 그렇지 않은가? 이 비대칭성의 이유는 무엇인가?
• RQ4 지배성 테스트나 근사 요인 계산은 계산적으로 처리 가능한가? 다양한 가정 하에서의 복잡도 경계는 무엇인가?
• RQ5 일반적으로 NP-난이도임에도 불구하고, 조건부 VaR와 같은 특정 위험 측도에 대해 다항 시간 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 정적 위험 측도에 대한 조합적 측도에 의한 가장 날카운 상한은 정확히 기술 가능하며, 문헌에서 잘 알려진 구성과 정확히 일치한다.
• 정적 위험 측도에 대한 조합적 측도에 의한 가장 날카운 하한은 즉각적으로 이용 가능하지 않으며, 이는 근사 문제의 근본적인 비대칭성을 시사한다.
• 지배성 테스트와 근사 요인 계산은 일반적으로 NP-난이도이며, 공통 모수성과 법 불변성 가정 하에서도 마찬가지다.
• 특히 조건부 VaR의 경우, Huang 등 (2012)의 동반 논문에서 보듯이 다항 시간 알고리즘이 가능하다.
• 균일한 시나리오 트리에서는 최적 근사 요인 $\alpha^\star_{\mu_I, \mu_I \circ \max}$ 가 $\max\left\{ \frac{\Psi(k/N)}{\Psi(k/N^2)} \right\}$ ($k=1,\dots,N$) 로 주어지며, 이는 닫힌 형태의 표현이다.
• 이 논문은 위험 측도 근사와 부분합성 최적화 사이의 연결 고리를 확립하였으며, 이는 위험 관리 외적으로도 독립적인 관심을 끌 수 있다.