[논문 리뷰] Tight FPT Approximations for Fair $k$-center with Outliers

Ameet Gadekar|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 05.

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한 줄 요약

결정적(det)인 최초의 3-근사 알고리즘을 outliers가 있는 공정한 k-센터 문제에 대해 FPT 시간으로 제시하고, 이를 outliers가 있는 공정한 k-공급자 및 공정한 범위 제약으로 확장한다.

ABSTRACT

The $k$-center problem is a fundamental clustering objective that has been extensively studied in approximation algorithms. Recent work has sought to incorporate modern constraints such as fairness and robustness, motivated by biased and noisy data. In this paper, we study fair $k$-center with outliers, where centers must respect group-based representation constraints while up to $z$ points may be discarded. While a bi-criteria FPT approximation was previously known, no true approximation algorithm was available for this problem. We present the first deterministic $3$-approximation algorithm running in fixed-parameter tractable time parameterized by $k$. Our approach departs from projection-based methods and instead directly constructs a fair solution using a novel iterative ball-finding framework, based on a structural trichotomy that enables fixed-parameter approximation for the problem. We further extend our algorithm to fair $k$-supplier with outliers and to the more general fair-range setting with both lower and upper bounds. Finally, we show that improving the approximation factor below $3$ is $\mathrm{W[2]}$-hard, establishing the optimality of our results.

연구 동기 및 목표

• 잡음이 있는 데이터에서 강건하고 공정한 중심 기반 클러스터링을 동기화한다.
• outliers가 있는 공정한 k-center의 k에 매개변수화된 FPT 시간 내에 진정한 단일 기준(unicriteria) 근사를 달성한다.
• 구성 과정에서 공정성을 보존하는 직접적이며 비투사 기반의 알고리즘을 개발한다.
• outliers 및 공정한-range 제약으로 확장을 확장한다.
• 표준 복잡도 가정 하에서 W[2]-hardness 결과를 통해 3-근사 최적화의 최적성을 확립한다.

제안 방법

• color-coding을 사용하여 그룹을 병합하는 공정한 k-center with outliers를 colorf ul k-supplier with outliers로의 환원과 근사 보존을 달성한다.
• 구조적 삼분법에 기반한 OPT 규모에서 조밀한 영역을 탐색하는 FPT 시간의 반복적 볼 찾기 프레임워크를 제시한다.
• colorful k-supplier with outliers에 대한 3-근사 알고리즘을 2^{O(k log k)} · poly(n) 시간에 실행한다.
• 반복 과정의 각 단계에서 최적 클러스터의 커버리지를 보장하는 청구(충당) 논리를 제시한다.
• deterministic 버전을 얻기 위한 derandomization을 통해 2^{O(k)} poly(|X|) 시간을 얻는다.
• 단위 그룹 및 공정한-range 제약으로의 확장을 유사한 반복 절차를 통해 도출한다.

Figure 1 : The rectangle represents the full point set, while the colored discs correspond to the optimal clusters, with the remaining area representing outliers. The relative sizes of the discs illustrate the densities of the clusters. The iterative ball-finding subroutine is invoked for the denses

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k에 매개변수화된 FPT 시간에서 공정한 k-center with outliers에 대한 진정한 unicriteria 근사를 얻을 수 있는가?
• RQ2 이 문제에 대해 3-근사가 표준 복잡도 가정 하에서 최적이며, FPT 시간으로 더 개선될 수 있는가?
• RQ3 공정한 k-supplier with outliers 및 공정한-range 제약으로의 접근 방식 확장이 가능하며 근사 인자 및 FPT 실행 시간을 유지하는가?
• RQ4 아웃라이어가 존재하는 상황에서도 투사 기반 방법 없이 구성 전반에 걸쳐 공정성 제약을 어떻게 강제할 수 있는가?
• RQ5 outliers가 있는 공정한 k-center를 3배수보다 개선하면 경질성은 어떻게 되는가(고전적 hardness를 바탕으로 한 시사점)

주요 결과

• There exists a deterministic 3-approximation algorithm for fair k-center with outliers running in time 2^{O(k log k)} · poly(n).
• There exists a deterministic 3-approximation algorithm for fair k-supplier with outliers running in time 2^{O(k log k)} · poly(n) (Corollary 2).
• There exists a deterministic 3-approximation algorithm for fair-range k-center with outliers running in time 2^{O(k log k)} · poly(n) (Theorem 3).
• Improving the approximation factor below 3 is W[2]-hard, implying the 3-approximation is optimal in FPT time under standard assumptions.
• The reduction from fair k-center with outliers to colorful k-supplier with outliers (and its derandomization) enables solving the structured colorful instance without resorting to projection, which previously hindered unicriteria guarantees.
• The results extend the framework to include unit group requirements and generalized constraint settings, while maintaining the same FPT-time, 3-approximation guarantee.