[논문 리뷰] Tight Lower Bounds for Planted Clique in the Degree-4 SOS Program

Prasad Raghavendra, Tselil Schramm|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 18.

Cryptography and Data Security참고 문헌 1인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 에르되시-레니의 무작위 그래프 $G(n, \frac{1}{2})$에서 심은 클리크 문제의 4차 수준의 합의 제곱(SOS) 근사에 대해 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$의 날카운 하한을 확립한다. 목적값 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$를 갖는 타당한 SDP 해를 구성함으로써, 저자들은 4차 SOS 프로그램이 크기 $\tilde{O}(n^{1/2})$의 심은 클리크가 있는 그래프와 무작위 그래프를 구분할 수 없음을 보이며, 이 문제에 대한 SOS 계층 분석에서 오랫동안 남아있던 격차를 해결한다.

ABSTRACT

We give a lower bound of $ ildeΩ(\sqrt{n})$ for the degree-4 Sum-of-Squares SDP relaxation for the planted clique problem. Specifically, we show that on an Erdös-Rényi graph $G(n, frac{1}{2})$, with high probability there is a feasible point for the degree-4 SOS relaxation of the clique problem with an objective value of $ ildeΩ(\sqrt{n})$, so that the program cannot distinguish between a random graph and a random graph with a planted clique of size $ ilde{O}(\sqrt{n})$. This bound is tight. We build on the works of Deshpande and Montanari and Meka et al., who give lower bounds of $ ildeΩ(n^{1/3})$ and $ ildeΩ(n^{1/4})$ respectively. We improve on their results by making a perturbation to the SDP solution proposed in their work, then showing that this perturbation remains PSD as the objective value approaches $ ildeΩ(n^{1/2})$. In an independent work, Hopkins, Kothari and Potechin [HKP15] have obtained a similar lower bound for the degree-$4$ SOS relaxation.

연구 동기 및 목표

• 4차 수준의 합의 제곱(SOS) 근사에 대해 심은 클리크 문제의 하한에 대한 격차를 해결하기 위해.
• SOS 계층이 랜덤 그래프 $G(n, \tfrac{1}{2})$에서 크기 $\tilde{O}(n^{1/2})$의 심은 클리크를 탐지하지 못함을 보여주기 위해.
• 기존의 4차 SOS 근사에 대해 $\tilde{\theta}(n^{1/3})$ 및 $\tilde{\theta}(n^{1/4})$의 하한보다 향상된 하한을 확보하기 위해.
• 목적값 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$를 갖는 타당한 SDP 해를 구성함으로써 이 하한이 날카로움을 보여주기 위해.

제안 방법

• 데슈파ande와 몬타나리, 메카 등이 제시한 SDP 해의 변형을 통해 목적값을 향상시키기 위해 펌프터베이션을 구성한다.
• 변형된 해에서 유도된 행렬 $M'$의 차수의 추적을 분석하여 스펙트럼 노름을 유계화한다.
• 짝수 간선 다중도를 갖는 사이클에 집중하여 $\mathbb{E}[\operatorname{tr}(M'^k)]$에 기여하는 항의 수를 조합론적으로 유계화한다.
• 집중 불등식과 행렬 노름 유계화를 적용하여 $\mathbb{E}[\operatorname{tr}(M'^k)]$가 고확률로 작다는 것을 보인다.
• 분석을 단순화하기 위해 투영 연산자를 $P_{01}$ 및 $P_W$와 같은 구조적 행렬로 대체한다.
• 고려된 $k$에 대해 $\mathbb{E}[\operatorname{tr}(M'^k)] \to 0$임을 이용하여, 고확률로 $\mathbb{E}[\|M'\|] \to 0$임을 유도함으로써 타당성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차 SOS 근사가 $G(n, \tfrac{1}{2})$에서 크기 $\tilde{O}(n^{1/2})$의 심은 클리크를 탐지할 수 있는가?
• RQ2 기존의 4차 SOS에 대해 알려진 하한 $\tilde{\theta}(n^{1/3})$이 날카로운가?
• RQ3 기존의 SDP 해를 변형하여 목적값을 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$로 높일 수 있고, 동시에 양의 준정적 행렬 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 크기 $\tilde{O}(n^{1/2})$ 이하의 클리크에 대해 4차 SOS 계층이 랜덤 그래프와 심은 클리크가 있는 그래프를 구분하지 못하는가?
• RQ5 메카 등과 데슈파ande-몬타나리의 분석을 개선하여 이 설정에서 날카로운 하한을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 고확률로 $G(n, \tfrac{1}{2})$에서 4차 SOS 근사에 대해 목적값 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$를 갖는 타당한 해가 존재한다.
• 이는 SOS 프로그램이 크기 $\tilde{O}(n^{1/2})$의 심은 클리크가 있는 그래프와 무작위 그래프를 구분할 수 없음을 의미하며, 날카로운 하한을 확립한다.
• SDP 해의 변형은 목적값이 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$에 가까워질수록 여전히 양의 준정적 행렬 성질을 유지하므로 타당성이 확인된다.
• 핵심 행렬 $M'$의 스펙트럼 노름은 고확률로 $\tilde{O}(\frac{n^{1/2}}{n}) = \tilde{O}(n^{-1/2})$ 이하로 유계화된다.
• 이 하한은 더 이상 향상될 수 없으며, 이 설정에서 4차 SOS 근사에 대해 최적임을 의미한다.
• 이 결과는 호프킨스, 코타리, 포테킨이 독립적으로 확보한 하한과 일치하여 $\tilde{\theta}(n^{1/2})$ 임계점의 날카로움을 확인한다.