[논문 리뷰] Tight lower bounds on the number of faces of the Minkowski sum of convex polytopes via the Cayley trick

Menelaos I. Karavelas, Eleni Tzanaki|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 07.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 카일리 기법을 사용하여 r개의 볼록 d-다면체의 민코프스키 합에서 k-면의 수에 대한 날카운 하한을 확립한다. 저자들은 r개의 이웃 다면체 d-다각형을 구성함으로써, d ≥ 3 및 2 ≤ r ≤ d − 1일 때 Fukuda와 Weibel의 상한이 0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r 범위에서 정확히 맞는다는 것을 증명한다. 이는 이전 결과를 더 넓은 매개변수 범위로 확장한다.

ABSTRACT

Consider a set of $r$ convex $d$-polytopes $P_1,P_2,...,P_r$, where $d\ge{}3$ and $r\ge{}2$, and let $n_i$ be the number of vertices of $P_i$, $1\le{}i\le{}r$. It has been shown by Fukuda and Weibel that the number of $k$-faces of the Minkowski sum, $P_1+P_2+...+P_r$, is bounded from above by $Φ_{k+r}(n_1,n_2,...,n_r)$, where $Φ_{\ell}(n_1,n_2,...,n_r)= \sum_{\substack{1\le{}s_i\le{}n_i s_1+...+s_r=\ell}} \prod_{i=1}^r\binom{n_i}{s_i}$, $\ell\ge{}r$. Fukuda and Weibel have also shown that the upper bound mentioned above is tight for $d\ge{}4$, $2\le{}r\le{}\lfloor\frac{d}{2} floor$, and for all $0\le{}k\le{}\lfloor\frac{d}{2} floor-r$. In this paper we construct a set of $r$ neighborly $d$-polytopes $P_1,P_2,...,P_r$, where $d\ge{}3$ and $2\le{}r\le{}d-1$, for which the upper bound of Fukuda and Weibel is attained for all $0\le{}k\le{}\lfloor\frac{d+r-1}{2} floor-r$. Our approach is based on what is known as the Cayley trick for Minkowski sums. A direct consequence of our result is a tight asymptotic bound on the complexity of the Minkowski sum $P_1+P_2+...+P_r$, for any fixed dimension $d$ and any $2\le{}r\le{}d-1$, when the number of vertices of the polytopes is (asymptotically) the same.

연구 동기 및 목표

• d ≥ 3 및 2 ≤ r ≤ d−1일 때 r개의 볼록 d-다면체의 민코프스키 합에서 k-면의 최대 수를 결정하는 것.
• 이전에 확립된 범위를 초월하여 Fukuda-Weibel의 면 수 상한이 정확한 것으로 알려진 범위를 확장하는 것.
• 일반적인 다면체 및 차원 범위에서 자명한 상한 Φk+r(n₁,…,nr)가 달성 가능한지를 규명하는 것.
• 고정된 d 및 2 ≤ r ≤ d−1일 때 각 다면체의 정점 수가 점점 커질 경우 민코프스키 합의 점근적 복잡도에 대한 날카운 복잡도 상한을 제공하는 것.
• 구축된 이웃 다면체가 모든 k에 대해 0 ≤ k ≤ d−1 범위에서 가능한 최대의 k-면 수를 달성한다고 추측하는 것.

제안 방법

• 민코프스키 합 P₁ + ⋯ + Pr를 ℝʳ⁻¹ × ℝᵈ 내의 카일리 다면체 P̃와 d-평면 W̄의 교차로 표현하기 위해 카일리 기법을 사용한다.
• r ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ 범위에서 P̃가 W̄와 교차하는 (k−1)-면의 수가 Φk(n₁,…,nr)가 되도록 r개의 이웃 d-다면체를 구성한다.
• 각 V-스패닝 정점 부분집합이 카일리 다면체의 유일한 면을 정의하도록, 매개변수 ζ를 사용한 변형 기법을 적용한다.
• P̃의 지지 초평면을 특성화하기 위해 행렬식 기반 조건 FV(x;ζ) = 0을 사용하여, 의도한 정점 집합만이 면을 형성하도록 보장한다.
• P̃ ∩ W̄의 (k + r − 1)-면과 P₁ + ⋯ + Pr의 k-면 사이의 일대일 대응을 적용하여 면 수를 유도한다.
• 카일리 다면체의 면 구조가 W̄와의 교차를 통해 민코프스키 합의 면 구조와 일치할 때 fₖ(P₁ + ⋯ + Pr) = Φk+r(n₁,…,nr)가 성립한다는 사실에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d ≥ 3 및 2 ≤ r ≤ d−1일 때, r개의 볼록 d-다면체의 민코프스키 합에서 k-면 수에 대한 Fukuda-Weibel 상한이 항상 정확한가?
• RQ2 상한 Φk+r(n₁,…,nr)가 0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r 범위의 모든 k에서 달성 가능한가?
• RQ3 고정된 d 및 2 ≤ r ≤ d−1일 때, 정점 수가 점점 커지는 r개의 d-다면체 민코프스키 합의 점근적 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 이웃 다면체의 구축이 모든 k ∈ 0 ≤ k ≤ d−1 범위에서 가능한 최대의 k-면 수를 제공하는가?
• RQ5 r ≥ d 또는 현재 상한을 초월하는 더 높은 k에 대해 민코프스키 합의 k-면 수에 대한 가장 날카운 표현은 무엇인가?

주요 결과

• Fukuda-Weibel의 상한 Φk+r(n₁,…,nr)는 d ≥ 3, 2 ≤ r ≤ d−1, 0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r 범위에서 민코프스키 합 P₁ + ⋯ + Pr의 k-면 수에 대해 정확하다.
• r개의 이웃 d-다면체를 구축함으로써, 지정된 범위 내의 모든 k에 대해 상한이 달성되며, 이는 이전에 알려진 범위보다 훨씬 넓은 범위에서 정확성을 입증한다.
• 고정된 d ≥ 3 및 2 ≤ r ≤ d−1일 때, r개의 n-정점 d-다면체의 민코프스키 합의 점근적 복잡도는 Θ(n⌊(d+r−1)/2⌋)이다.
• 카일리 기법은 카일리 다면체의 (k−1)-면이 d-평면과 교차하는 것과 민코프스키 합의 k-면 사이의 직접적인 대응을 가능하게 하여 면 수 계산의 타당성을 검증한다.
• 각 r ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ 범위에서, d-평면과 교차하는 카일리 다면체의 (k−1)-면 수는 정확히 Φk(n₁,…,nr)이며, 이는 면 수가 최대임을 보장한다.
• 저자들은 이 구축이 0에서 d−1까지의 모든 k에 대해 가능한 최대의 k-면 수를 달성한다고 추측한다. 이는 현재 증명된 범위를 초월한다.