[논문 리뷰] Tight MIP formulations for bounded length cyclic sequences

Thomas Kalinowski, Tomas Lidén외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 06.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최소 및 최대 on/off 간격 길이를 갖는 유한 길이의 순환 이진 수열을 위한 날카운 MIP(정수형 프로그래밍) 설정을 제시한다. 주기적 스케줄링을 모델링하며, 압축된 확장된 네트워크 플로우 설정을 도입하고, 이산 프로그래밍을 활용하여 상태 및 시작 상태 변수 공간에서 면을 구성하는 타당한 부등식을 유도한다. 이는 볼륨의 볼륨을 확장하여 볼륨의 볼륨을 구성하고, 순환 스케줄링 문제에 대해 정수성과 날카운성을 보장한다.

ABSTRACT

We study cyclic binary strings with bounds on the lengths of the intervals of consecutive ones and zeros. This is motivated by scheduling problems where such binary strings can be used to represent the state (on/off) of a machine. In this context the bounds correspond to minimum and maximum lengths of on- or off-intervals, and cyclic strings can be used to model periodic schedules. Extending results for non-cyclic strings is not straight forward. We present a non-trivial tight compact extended network flow formulation, as well as valid inequalities in the space of the state and start-up variables some of which are shown to be facet-defining. Applying a result from disjunctive programming, we also convert the extended network flow formulation into an extended formulation over the space of the state and start-up variables.

연구 동기 및 목표

• 유한 길이의 순환 이진 수열에 대해 on 및 off 간격 길이가 제한된 날카운 MIP 설정을 개발하는 것.
• 비순환 설정을 순환 설정으로 확장할 때 발생하는 래핑된 간격이 표준 정수성 조건을 위반하는 문제를 다루는 것.
• 상수인 경계 조건 하에서 상태 및 시작 상태 변수 공간에서 면을 구성하는 타당한 부등식을 유도하는 것.
• 이산 프로그래밍 기법을 활용하여 볼륨의 볼륨에 대한 확장 설정을 구성하는 것.
• 순환적 의존성에도 불구하고 설정의 정수성과 날카운성을 보장하는 것.

제안 방법

• 비순환 수열의 확장된 네트워크 플로우 설정을 [13]에서 유도한 바를 활용하여, 네트워크를 확장하고 정수성을 복원하기 위해 분할을 이용해 순환 수열에 적용한다.
• on/off 상태 및 전환을 모델링하기 위해 상태 변수 $ y_t $ 와 시작 상태 변수 $ z_t $ 를 정의한다.
• 보조 변수 $ \lambda $ 와 $ \tau \in T_i $ 를 인덱스로 사용하는 경로 기반 설정을 도입하여 래핑 간격을 모델링한다.
• 다양한 on 또는 off 간격의 시작 지점에 해당하는 각각의 다각형 $ \hat{P}^{(i,\tau)} $ 를 결합하기 위해 이산 프로그래밍을 적용한다.
• 확장 설정을 원래의 $ y $ 와 $ z $ 변수로 되돌리기 위해 사영 $ f $ 를 사용한다.
• 확률적 조합을 통한 $ \hat{P}^{(i,\tau)}(1) $ 의 볼륨의 볼륨 설정을 유도하여 정수성과 날카운성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 길이의 순환 이진 수열에 대해, 간격 길이가 제한된 압축된 확장된 네트워크 플로우 설정을 구성할 수 있는가? 이는 정수성을 보장하는가?
• RQ2 경계가 시간에 따라 일정할 경우, 상태 및 시작 상태 변수 공간에서 타당한 부등식이 면을 구성하는가?
• RQ3 이산 프로그래밍 접근법이 타당 집합 $ Z(n,\bm{\alpha},\bm{\beta},\bm{\gamma},\bm{\delta}) $ 의 볼륨의 볼륨을 묘사하는 확장 설정을 도출하는가?
• RQ4 확장 설정 $ Q $ 를 원래 변수에 사영한 결과가 원래 다각형 $ P $ 와 동일한가? 즉, $ \operatorname{proj}_{y,z}(Q) = P $?
• RQ5 볼륨의 볼륨의 복잡도는 면의 수를 기준으로 어떻게 되며, 이는 다항식 시간 내에 가능한가?

주요 결과

• 비순환 설정을 확장하여 네트워크를 확장하고 분할적 구조를 활용함으로써 정수 다각형을 도출하는 비트레이스 확장된 네트워크 플로우 설정을 구성하였다.
• 이 설정은 날카우며 압축되어 있으며, [13]의 비순환 접근법을 순환 설정으로 확장하였다.
• 상수 경계 조건 하에서, $ y $-$ z $ 공간의 타당한 부등식이 면을 구성하는 데 필요한 충분 조건를 제공하였다.
• 이산 프로그래밍을 통해 다수의 경로 기반 다각형 $ \hat{P}^{(i,\tau)} $ 를 확률적 조합으로 결합함으로써 볼륨의 볼륨에 대한 확장 설정을 도출하였다.
• 확장 설정 $ Q $ 를 원래 변수에 사영한 결과가 원래 다각형 $ P $ 와 동일함을 확인하였으며, 소규모 사례에서 polymake 를 활용해 검증하였다.
• 이 방법은 타당 집합의 볼륨의 볼륨을 다항식 크기의 확장 설정을 통해 정확히 묘사함을 보장한다.