[논문 리뷰] Tight Remainder-Form Decomposition Functions with Applications to Constrained Reachability and Guaranteed State Estimation

Mohammad Khajenejad, Sze Zheng Yong|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 15.

Anesthesia and Sedative Agents참고 문헌 39인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 넓은 범위의 비연속 비선형 시스템—양측 국소 리프시츠 연속성(ELLC) 시스템—에 대해 계산적으로 타당하고 날카운 오차 범위를 갖는 나머지 형 혼합 단조 분해 함수를 제안한다. 이는 도달 가능성 및 추정에서 영역의 과대근사에 효과적으로 활용할 수 있다. 이 방법은 동류 중에서 가장 날카운 오차 한계를 달성하며, 새로운 집합 역행렬 알고리즘을 통해 제약 조건이 있는 도달 가능성 분석 및 간격 관측기 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper proposes a tractable family of remainder-form mixed-monotone decomposition functions that are useful for over-approximating the image set of nonlinear mappings in reachability and estimation problems. Our approach applies to a new class of nonsmooth, discontinuous nonlinear systems that we call either-sided locally Lipschitz semicontinuous (ELLS) systems, which we show to be a strict superset of locally Lipschitz continuous (LLC) systems, thus expanding the set of systems that are formally known to be mixed-monotone. In addition, we derive lower and upper bounds for the over-approximation error and show that the lower bound is achieved with our proposed approach, i.e., our approach constructs the tightest, tractable remainder-form mixed-monotone decomposition function. Moreover, we introduce a set inversion algorithm that along with the proposed decomposition functions, can be used for constrained reachability analysis and guaranteed state estimation for continuous- and discrete-time systems with bounded noise.

연구 동기 및 목표

• 비연속 비선형 시스템에 대해 계산적으로 타당하고 날카운 혼합 단조 분해 함수의 부족을 해결한다.
• 국소 리프시츠 연속성 시스템을 초월하여 혼합 단조성의 적용 범위를 더 넓은 계열의 시스템으로 확장한다.
• 상태 제약 조건과 측정치를 통합하여 도달 가능한 집합을 정밀화하는 새로운 집합 역행렬 알고리즘을 개발한다.
• 과대근사 오차에 대한 이론적 한계를 제공하고, 제안된 분해의 날카운 정도를 증명한다.
• 유한한 노이즈를 갖는 연속 및 이산 시간 시스템에 대해 제약 조건이 있는 도달 가능성 분석 및 간격 관측기 설계를 가능하게 한다.

제안 방법

• 한쪽 방향으로 유계 클라크 야코비안을 允허하는 한계로 국소 리프시츠 연속성 시스템을 일반화한 새로운 시스템 계열—양측 국소 리프시츠 연속성(ELLC)—을 도입한다.
• 반복적이지 않은 알고리즘을 통해 닫힌 형태로 계산 가능한 나머지 형 분해 함수를 제안하여 계산 타당성을 확보한다.
• 범위 과대근사에 효율적으로 활용할 수 있도록 단조 함수의 차분 형태로 분해를 정식화한다. 이는 DC 프로그래밍과 유사하다.
• 과대근사 오차의 해석적 하한 및 상한을 유도하며, 제안된 방법이 이론적 하한에 도달함을 증명한다.
• 상태 제약 조건과 측정치를 통합하여 도달 가능한 집합을 정밀화하는 새로운 집합 역행렬 알고리즘과 분해 함수를 통합한다.
• 구간 분석 및 분할 원리를 사용하여 연속 시간 시스템에 프레임워크를 적용하며, 구간 너비가 감소함에 따라 수렴하여 날카운 한계에 도달함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 다루지 않은 더 넓은 범위의 비연속 비선형 시스템에 대해 계산 가능하고 날카운 나머지 형 분해 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 기존 방법(예: [14])과 비교해 볼 때 제안된 분해 함수는 날카움과 계산 효율성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 상태 제약 조건과 측정치의 포함이 제약 조건이 있는 도달 가능성 분석에서 도달 가능한 집합 과대근사 정확도를 어느 정도 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 과대근사 오차의 이론적 한계는 무엇이며, 제안된 방법이 그 클래스 내에서 가장 날카운 한계를 달성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 항공기 동역학과 같이 유한한 불확실성을 갖는 실제 시스템에 대해 상태 추정 및 도달 가능성 분석에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 나머지 형 분해 함수는 반복적이지 않은 알고리즘을 통해 닫힌 형태로 계산 가능하여 계산 타당성을 확보한다.
• 이 방법은 동류 중에서 가장 날카운 과대근사 오차 한계를 달성하며, 하한이 달성 가능하다는 것이 증명되었다.
• ELLC 시스템 계열이 국소 리프시츠 연속성 시스템의 엄격한 초집합임이 증명되어 더 광범위한 비연속 벡터장에 적용 가능하다.
• GTM 항공기 모델에서, 측정치를 통합한 경우, 기준 방법에 비해 제안된 방법이 훨씬 날카운 도달 가능한 집합 근사치를 제공한다.
• 구간 도메인 너비가 감소함에 따라 과대근사 오차가 진짜 영역 집합에 적어도 선형 수준으로 수렴함을 검증하였다.
• 다양한 분해 함수를 조합한 최고 성능 버전은 제약 조건이 없는 경우와 제약 조건이 있는 경우 모두에서 개별 접근 방식을 초월한다.