[논문 리뷰] Tight Running Time Lower Bounds for Strong Inapproximability of Maximum $k$-Coverage, Unique Set Cover and Related Problems (via $t$-Wise Agreement Testing Theorem)

Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 갭-지수시간가설(Gap-ETH) 하에 몇 가지 기본적인 매개변수화된 문제들에 대한 강한 근사불가성에 대해 날카운 실행시간 하한을 확립한다. 이는 Max $k$-Coverage, $k$-Median, $k$-Mean, $k$-Unique Set Cover, 그리고 $k$-Minimum Distance 및 $k$-Shortest Vector와 같은 격자 문제를 포함한다. 이는 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 알고리즘이 특정 상수 요인 근사에 도달할 수 없음을 증명하며, 지수 항의 상수에 대해 정확하게 일치하는 하한을 제공한다.

ABSTRACT

We show, assuming the (randomized) Gap Exponential Time Hypothesis (Gap-ETH), that the following tasks cannot be done in $T(k) \\cdot N^{o(k)}$-time for any function $T$ where $N$ denote the input size: - $\\left(1 - \\frac{1}{e} + \\epsilon\ ight)$-approximation for Max $k$-Coverage for any $\\epsilon > 0$, - $\\left(1 + \\frac{2}{e} - \\epsilon\ ight)$-approximation for $k$-Median (in general metrics) for any constant $\\epsilon > 0$. - $\\left(1 + \\frac{8}{e} - \\epsilon\ ight)$-approximation for $k$-Mean (in general metrics) for any constant $\\epsilon > 0$. - Any constant factor approximation for $k$-Unique Set Cover, $k$-Nearest Codeword Problem and $k$-Closest Vector Problem. - $(1 + \\delta)$-approximation for $k$-Minimum Distance Problem and $k$-Shortest Vector Problem for some $\\delta > 0$. Since these problems can be trivially solved in $N^{O(k)}$ time, our running time lower bounds are essentially tight. In terms of approximation ratios, Max $k$-Coverage is well-known to admit polynomial-time $\\left(1 - \\frac{1}{e}\ ight)$-approximation algorithms, and, recently, it was shown that $k$-Median and $k$-Mean are approximable to within factors of $\\left(1 + \\frac{2}{e}\ ight)$ and $\\left(1 + \\frac{8}{e}\ ight)$ respectively in FPT time [Cohen-Addad et al. 2019]; hence, our inapproximability ratios are also tight for these three problems. For the remaining problems, no non-trivial FPT approximation algorithms are known. The starting point of all our hardness results mentioned above is the Label Cover problem (with projection constraints). We show that Label Cover cannot be approximated to within any constant factor in $T(k) \\cdot N^{o(k)}$ time, where $N$ and $k$ denote the size of the input and the number of nodes on the side with the larger alphabet respectively. With this hardness, the above results follow immediately from known reductions...

연구 동기 및 목표

• Gap-ETH 하에 핵심 매개변수화된 문제들에 대한 강한 근사불가성에 대해 날카운 실행시간 하한을 확립하는 것.
• Max $k$-Coverage 및 $k$-Median와 같은 문제들에 대한 FPT 근사 알고리즘의 알려진 상한과 가능한 최선의 실행시간 사이의 격차를 메우는 것.
• $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 제약 조건 하에서 Label Cover의 난이도를 증명하기 위해 새로운 $t$-방식 일치 테스트 정리를 개발하는 것.
• $k$-Unique Set Cover, $k$-Nearest Codeword, $k$-Closest Vector의 FPT 근사 가능성에 대한 열린 질문을 해결하는 것, 특히 총 FPT 근사불가성에 관해.
• 자기-텐서링 기법을 피할 수 있는지 탐색하여 $k$-Minimum Distance 및 $k$-Shortest Vector에 대해 상수 요인으로 더 강력한 근사불가성 결과를 얻을 수 있는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 실행시간 하한을 유도하기 위해 중심 복잡도 가정으로 갭-지수시간가설(Gap-ETH)을 활용한다.
• 새로운 $t$-방식 일치 테스트 정리를 도입: $\Theta(n/k)$ 크기의 도메인에서 무작위로 선택된 $t$개의 국소 부울 함수가 높은 확률로 약한 일치를 보일 경우, 많은 수의 함수와 대부분 일치하는 전역 부울 함수가 존재한다.
• 이 일치 정리를 $\Theta(n/k)$ 크기의 랜덤처럼 보이는 집합에 적용하여 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 제약 조건 하에서 Label Cover의 난이도를 증명한다.
• 이러한 어려운 Label Cover 인스턴스에서 출발해 Max $k$-Coverage, $k$-Median, $k$-Mean, $k$-Unique Set Cover 및 격자 문제에 대한 근사불가성 결과를 유도한다.
• 기존의 Label Cover에서 목표 문제로의 감소를 활용하여, 이러한 문제들에 대해 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 알고리즘이 존재할 경우 Gap-ETH 위반을 초래함을 보인다.
• 기존의 FPT 근사 알고리즘들이 각각 $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$, $\left(1 + \frac{2}{e}\right)$, $\left(1 + \frac{8}{e}\right)$ 근사치를 달성함을 비교하여 하한의 날카로움을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gap-ETH 하에 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 알고리즘이 Max $k$-Coverage에 대해 $\left(1 - \frac{1}{e} + \varepsilon\right)$-근사에 도달할 수 있는가?
• RQ2 Max $k$-Coverage에 대해 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 알고리즘이 $\left(1 + \frac{2}{e} - \varepsilon\right)$-근사에 도달할 수 있는가?
• RQ3 $k$-Unique Set Cover는 어떤 상수 요인 내에서도 $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 시간 내에 근사 가능할 수 있는가?
• RQ4 $k$-Minimum Distance 및 $k$-Shortest Vector에 대해 자기-텐서링에 의존하지 않고 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 근사불가성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 $k$-Unique Set Cover는 총 FPT 근사불가성인지, 아니면 비트리비얼 FPT 근사 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• Gap-ETH 하에, 어떤 상수 $\varepsilon > 0$ 에 대해서도 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 알고리즘은 Max $k$-Coverage에 대해 $\left(1 - \frac{1}{e} + \varepsilon\right)$-근사에 도달할 수 없다.
• 유사하게, 이러한 알고리즘은 일반 메트릭에서 $k$-Median에 대해 $\left(1 + \frac{2}{e} - \varepsilon\right)$-근사 또는 $k$-Mean에 대해 $\left(1 + \frac{8}{e} - \varepsilon\right)$-근사에 도달할 수 없다.
• 논문은 $k$-Unique Set Cover, $k$-Nearest Codeword, $k$-Closest Vector에 대해 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 내에 어떤 상수 요인 내에서도 근사할 수 없음을 증명한다.
• 또한 $k$-Minimum Distance 및 $k$-Shortest Vector에 대해서도 어떤 $\delta > 0$ 에 대해 $1+\delta$ 요인 내에서 $T(k) \cdot N^{o(k)}$-시간 근사불가성을 확립한다.
• Label Cover의 난이도는 크기 $\Theta(n/k)$ 의 랜덤처럼 보이는 집합의 영역에서 새로운 $t$-방식 일치 테스트 정리를 통해 증명되며, 이는 전체 프레임워크의 핵심이다.
• 모든 근사불가성 결과는 지수 항의 상수에 대해 정확하게 일치하며, Max $k$-Coverage, $k$-Median, $k$-Mean에 대해 알려진 최고의 FPT 근사 알고리즘과 일치한다.