[논문 리뷰] Tight size-degree bounds for sums-of-squares proofs

Massimo Lauria, Jakob Nordstr”öm|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 17.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 32인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 4-CNF 공식을 구성하여, n개 변수를 가진 다항식의 제곱(SOS) 증명에 대해 엄밀한 크기-차수 상호보완 관계를 확립한다. 이 공식들은 차수 d의 SOS 증명이 필요하지만 크기가 nΩ(d)이며, 이는 Lasserre의 SDP 근사법의 nO(d) 실행 시간이 지수 항수 상수 요소 이내로 최적임을 증명한다. 이 결과는 저차수 SOS 감소와 상대화 및 제한 기법을 조합하여 달성된다.

ABSTRACT

We exhibit families of 4-CNF formulas over n variables that have sums-of-squares (SOS) proofs of unsatisfiability of degree (a.k.a. rank) d but require SOS proofs of size nΩ(d) for values of d = d(n) from constant all the way up to nδ for some universal constant δ. This shows that the nO(d) running time obtained by using the Lasserre semidefinite programming relaxations to find degree-d SOS proofs is optimal up to constant factors in the exponent. We establish this result by combining NP-reductions expressible as low-degree SOS derivations with the idea of relativizing CNF formulas in [Krajicek '04] and [Dantchev and Riis '03], and then applying a restriction argument as in [Atserias, Muller, and Oliva '13] and [Atserias, Lauria, and Nordstrom '14]. This yields a generic method of amplifying SOS degree lower bounds to size lower bounds, and also generalizes the approach in [ALN14] to obtain size lower bounds for the proof systems resolution, polynomial calculus, and Sherali-Adams from lower bounds on width, degree, and rank, respectively.

연구 동기 및 목표

• 불만족가능성에 대한 합의의 제곱(SOS) 증명의 차수와 크기 복잡도 사이의 격차를 메우기.
• 차수-d SOS 증명을 찾는 데에 Lasserre의 SDP 근사법의 nO(d) 실행 시간이 지수 항수 상수 요소 이내로 최적임을 입증하기.
• SOS 차수 하한을 크기 하한으로 확대하는 일반적인 방법 개발하기.
• 해결책 시스템인 해상도, 다항식 계산법, Sherali-Adams에 대해 넓히기 위해 폭넓은 접근법 개발하기 — 각각 폭, 차수, 랭크 하한을 기반으로 한다.

제안 방법

• 낮은 차수의 SOS 유도로 표현 가능한 NP 감소와 Krajicek(2004) 및 Dantchev-Riis(2003)의 상대화 기법을 조합하기.
• Atserias, Muller, Oliva(2013) 및 Atserias, Lauria, Nordstrom(2014)의 영감을 얻은 제한 논증을 적용하여 차수 하한을 크기 하한으로 확대하기.
• n개 변수를 가진 4-CNF 공식을 구성하여, SOS 차수 d와 증명 크기 nΩ(d) 사이의 상호보완 관계를 나타내기.
• 다양한 해결책 시스템에서 차수 하한을 크기 하한으로 변환하는 일반적 프레임워크 사용하기.
• CNF 공식의 구조와 그 상대화를 활용하여, 높은 SOS 차수이지만 큰 증명 크기를 가진 공식을 설계하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SOS 차수 하한을 해결책 시스템에 대해 체계적으로 크기 하한으로 확대할 수 있는가?
• RQ2 Lasserre의 SDP 근사법의 nO(d) 실행 시간이 차수-d SOS 증명을 찾는 데에 지수 항수 상수 요소 이내로 최적인가?
• RQ3 제한된 차수를 가진 공식에 대해 불만족가능성의 SOS 증명의 최소 크기는 얼마인가?
• RQ4 상대화 및 제한 기법을 활용하여 대수적 증명 복잡도에서 크기-차수 상호보완 관계를 확립하는 데에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 해상도, 다항식 계산법, Sherali-Adams와 같은 다른 해결책 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 n개 변수를 가진 4-CNF 공식을 구성하여, 차수 d의 SOS 증명이 필요하지만 크기가 nΩ(d)인 경우를 보여주며, 차수와 크기 사이의 엄밀한 상호보완 관계를 확립한다.
• 이것은 Lasserre의 SDP 근사법의 nO(d) 실행 시간이 차수-d SOS 증명을 찾는 데에 지수 항수 상수 요소 이내로 최적임을 증명한다.
• 이 구성은 d = d(n)이 상수에서 어떤 전역 상수 δ에 대해 nδ까지의 모든 값에 대해 이 상호보완 관계를 달성한다.
• 이 방법은 SOS 차수 하한을 크기 하한으로 변환하는 일반적인 확대 기법을 제공한다.
• 이 접근법은 해상도, 다항식 계산법, Sherali-Adams로 일반화되며, 각각 폭, 차수, 랭크 하한에서 크기 하한을 도출한다.