[논문 리뷰] Tight upper bound on the maximum anti-forcing numbers of graphs

Lingjuan Shi, Heping Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 13.

Interconnection Networks and Systems인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 완전 매칭을 가진 그래프의 최대 반-강성 수에 대한 새로운 날것으로 빠짐없는 상한을 확립하며, '좋은' 완전 매칭과 극한 그래프의 개념을 도입한다. 이는 간선의 치환에 의해 특징지어지며, 두 가지 확장 연산을 통해 구성 가능하며, 초입방형, 접히는 초입방형, 완전 그래프 등에 적용된다.

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with a perfect matching. Deng and Zhang showed that the maximum anti-forcing number of $G$ is no more than the cyclomatic number. In this paper, we get a novel upper bound on the maximum anti-forcing number of $G$ and investigate the extremal graphs. If $G$ has a perfect matching $M$ whose anti-forcing number attains this upper bound, then we say $G$ is an extremal graph and $M$ is a nice perfect matching. We obtain an equivalent condition for the nice perfect matchings of $G$ and establish a one-to-one correspondence between the nice perfect matchings and the edge-involutions of $G$, which are the automorphisms $α$ of order two such that $v$ and $α(v)$ are adjacent for every vertex $v$. We demonstrate that all extremal graphs can be constructed from $K_2$ by implementing two expansion operations, and $G$ is extremal if and only if one factor in a Cartesian decomposition of $G$ is extremal. As examples, we have that all perfect matchings of the complete graph $K_{2n}$ and the complete bipartite graph $K_{n, n}$ are nice. Also we show that the hypercube $Q_n$, the folded hypercube $FQ_n$ ($n\geq4$) and the enhanced hypercube $Q_{n, k}$ ($0\leq k\leq n-4$) have exactly $n$, $n+1$ and $n+1$ nice perfect matchings respectively.

연구 동기 및 목표

• 순환 수보다 더 날것으로 빠짐없는 상한을 완전 매칭을 가진 그래프의 최대 반-강성 수에 대해 확립하기.
• 이 상한을 달성하는 그래프, 즉 '극한 그래프'를 특성화하고, 그들의 완전 매칭인 '좋은 완전 매칭'을 특성화하기.
• 좋은 완전 매칭과 간선의 치환—각 정점을 이웃 정점으로 보낸다. 순서가 2인 자동형사상—사이의 일대일 대응을 확립하기.
• 두 가지 확장 연산을 사용하여 모든 극한 그래프를 구성적으로 특성화하기.
• 특정 가족, 예를 들어 초입방형, 접히는 초입방형, 향상된 초입방형에서 좋은 완전 매칭의 수를 결정하기.

제안 방법

• 완전 매칭의 반-강성 수를, 해당 매칭 외에 다른 완전 매칭가 존재하지 않게 하기 위해 제거해야 하는 비매칭 간선의 최소 수로 정의한다.
• '좋은' 완전 매칭을 새로운 반-강성 수 상한을 달성하는 매칭으로 정의하고, 이러한 매칭을 갖는 그래프를 극한 그래프로 정의한다.
• 좋은 완전 매칭과 간선의 치환—각 정점이 자신의 상응하는 정점과 인접한 순서가 2인 자동형사상—사이의 이분사 대응을 확립한다.
• 그래프의 카르테시안 곱 분해를 이용하여, 그래프가 극한임은 그 카르테시안 분해의 인자 중 하나가 극한임과 동치임을 보인다.
• 그래프 곱 이론과 등거리 사이클을 이용하여 접히는 초입방형 $FQ_n$ ($n \neq 3$)가 소수이자 극한임을 증명한다.
• 두 가지 확장 연산인 새로운 간선 추가 및 정점과 그 이웃의 복제를 사용하여 $K_2$에서 시작해 극한 그래프를 재귀적으로 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 매칭을 가진 그래프의 최대 반-강성 수에 대해 가능한 가장 날것으로 빠짐없는 상한은 무엇인가?
• RQ2 어느 그래프가 이 상한을 달성하며, 그들이 가진 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 최대 반-강성 수를 달성하는 '좋은' 완전 매칭은 그래프의 자동형사상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모든 극한 그래프는 특정한 연산을 통해 기본 그래프에서 구성될 수 있는가?
• RQ5 표준 가족, 예를 들어 $K_{2n}$, $K_{n,n}$, $Q_n$, $FQ_n$, $Q_{n,k}$에서 좋은 완전 매칭은 몇 개인가?

주요 결과

• 그래프 $G$의 최대 반-강성 수는 $v(G) - e(G) + 1$ 이하로 bound되며, 이 상한은 극한 그래프에서 날것으로 빠짐없다.
• 완전 매칭 $M$이 '좋은'이 되는 것은, 그 매칭이 간선의 치환—각 정점이 이웃 정점으로 보이는 순서가 2인 자동형사상—과 대응될 때이다.
• 모든 극한 그래프는 $K_2$에서 시작하여 정점 복제 및 간선 추가라는 두 가지 확장 연산을 반복적으로 적용하여 구성할 수 있다.
• 그래프가 극한임은 그 카르테시안 분해의 인자 중 하나가 극한임과 동치이다.
• 완전 그래프 $K_{2n}$과 완전 이분 그래프 $K_{n,n}$는 모든 완전 매칭이 좋은 매칭이다.
• 초입방형 $Q_n$은 정확히 $n$개의 좋은 완전 매칭을 갖는다; 접히는 초입방형 $FQ_n$ ($n \neq 3$)은 $n+1$개; 향상된 초입방형 $Q_{n,k}$ ($0 \neq k \neq n-3$)는 $n+1$개의 좋은 완전 매칭을 갖는다.