[논문 리뷰] Tiles with no spectra

Mihail N. Kolountzakis, Máté Matolcsi|ArXiv.org|2004. 06. 07.

Mathematical Analysis and Transform Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 d ≥ 5인 차원에서 Fuglede의 스펙트럴 세트 추측의 '타일링이 스펙트럴을 암시한다' 방향을 반증한다. 유한 아벨 군의 유한 부분집합을 구성함으로써, 타일링은 하지만 그 타일링 보완 집합들 사이에 공통 스펙트럼이 없는 사례를 제시한다. Lagarias와 Wang의 유니버설 스펙트럼 추측에 대한 반례를 이용해, 이는 ℤ^d와 ℝ^d에서도 비스펙트럴 타일로 확장되며, 높은 차원에서 타일링이 스펙트럴 성질을 암시하지 않는다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

We exhibit a subset of a finite Abelian group, which tiles the group by translation, and such that its tiling complements do not have a common spectrum (orthogonal basis for their $L^2$ space consisting of group characters). This disproves the Universal Spectrum Conjecture of Lagarias and Wang. Further, we construct a set in some finite Abelian group, which tiles the group but has no spectrum. We extend this last example to the groups $\ZZ^d$ and $\RR^d$ (for $d \ge 5$) thus disproving one direction of the Spectral Set Conjecture of Fuglede. The other direction was recently disproved by Tao.

연구 동기 및 목표

• d ≥ 5인 차원에서 Fuglede의 스펙트럴 세트 추측의 '타일링이 스펙트럴을 암시한다' 방향을 반증한다.
• 유한 아벨 군 내에서 타일링은 하지만 스펙트럼이 없는 유한 집합을 구성함으로써, Lagarias와 Wang의 유니버설 스펙트럼 추측을 반박한다.
• 유한군에서의 비스펙트럴 타일을 상향 정리들을 이용해 ℤ^d와 ℝ^d로 확장함으로써, 유클리드 공간에서 차원 ≥ 5일 때 타일링이 스펙트럴 성질을 암시하지 않는다는 것을 입증한다.
• ℝ^d 내 모든 타일링 집합이 스펙트럴임을 추측하는 데 반례를 제시함으로써, Fuglede의 추측이 양방향 모두에서 반증됨을 완성한다.

제안 방법

• 유한군 ℤ₆⁵ × ℤ₁₅에서 유니버설 스펙트럼 추측에 대한 반례를 구성하기 위해, 타일링은 하지만 그 타일링 보완 집합들이 공통 스펙트럼을 갖지 않는 집합 A를 식별한다.
• 지표 함수 χ_A의 푸리에 변환의 구조를 이용하여, 이 유한군 설정에서 정규직교 성분 기저(스펙트럼)가 존재하지 않음을 보인다.
• 비스펙트럴 타일을 유한군 ℤ₆⁵ × ℤ₁₅에서 Theorem 4.1의 구성에 따라 ℤ^6로 상향 이전하여, 타일링 및 비스펙트럴 성질을 유지한다.
• Theorem 4.2를 적용하여 비스펙트럴 타일을 ℤ^d에서 ℝ^d로 상향 이전함으로써, E = A + [0,1)^d를 형성하고, ℝ^d에서 타일링은 하지만 스펙트럼이 없음을 보인다.
• Theorem 4.2에 의해 ℤ^d와 ℝ^d 사이의 스펙트럴 집합 간의 등가성을 활용하여, 이산 및 연속 설정 간의 스펙트럴 성질를 이전한다.
• 집합 Λ가 Ω에 대해 스펙트럼이 되기 위한 조건은 이중군 위에서 ∑_{λ∈Λ} |χ̂_Ω|²(x−λ) = |Ω|² 거의 전역적으로 성립한다는 것을 이용하여, 스펙트럴 및 비스펙트럴 성질을 푸리에 제로 집합을 통해 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝ^d에서 이동을 통해 타일링을 이루는 모든 집합은 반드시 스펙트럼을 갖는가(즉, L²(Ω)에서 정규직교 성분 기저인 특성 기저가 존재하는가)?
• RQ2 유한 아벨 군 내에서 타일링을 이루는 집합이 존재하지만, 모든 타일링 보완 집합들 사이에 공통 스펙트럼이 없는가?
• RQ3 Lagarias와 Wang의 유니버설 스펙트럼 추측은 유한 아벨 군에 대해 유효한가?
• RQ4 유한 군 내 비스펙트럴 타일은 ℤ^d와 ℝ^d로 상향 이전되어 비스펙트럴 타일이 될 수 있는가?
• RQ5 Fuglede의 스펙트럴 세트 추측의 '타일링이 스펙트럴을 암시한다' 방향은 d ≥ 5인 차원에서 성립하는가?

주요 결과

• 유한 아벨 군 ℤ₆⁵ × ℤ₁₅의 유한 부분집합을 구성함으로써, 타일링은 하지만 타일링 보완 집합들 사이에 공통 스펙트럼이 없는 사례를 제시하여, Lagarias와 Wang의 유니버설 스펙트럼 추측을 반박한다.
• ℤ₆⁵ × ℤ₁₅ 내에서 구성된 집합은 비스펙트럴 타일이며, 이는 타일링은 하지만 유한군 설정에서 스펙트럼이 없는 것을 의미한다.
• 이 비스펙트럴 타일은 Theorem 4.1을 통해 ℤ^6로 상향 이전되어, ℤ^6에서 타일링은 하지만 스펙트럴이 아닌 집합이 된다.
• Theorem 4.2에 의해 ℝ^6 내에서 A + [0,1)^6이 ℝ^6에서 타일링을 이루지만 스펙트럼이 없음을 보이며, ℝ^6에서의 반례를 확립한다.
• 구성 과정이 ℤ₆⁴ × ℤ₁₀₂(6과 17이 서로소이므로)로 수정되어, 차원 5에서 비스펙트럴 타일을 얻고, 이를 ℝ^5로 확장한다.
• 모든 d ≥ 5에 대해, ℝ^d에서 이동을 통해 타일링을 이루지만 스펙트럴이 아닌 집합이 존재함을 보이며, Fuglede의 스펙트럴 세트 추측의 '타일링이 스펙트럴을 암시한다' 방향을 반증한다.