[논문 리뷰] Tiling, spectrality and aperiodicity of connected sets

Rachel Greenfeld, Mihail N. Kolountzakis|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 23.

Quasicrystal Structures and Properties인용 수 7

한 줄 요약

저자들은 고차원에서의 차원 상승 및 접은 다리(folded-bridge) 기법을 통해 주기적 타일링 추측과 Fuglede의 추측 둘 다에 대한 연결된 반례를 구성하고, 스펙트럼/타일링 성질이 특정 차원 확장에서 어떻게 변하는지 보여준다.

ABSTRACT

Let $Ω\subset \mathbb{R}^d$ be a set of finite measure. The periodic tiling conjecture suggests that if $Ω$ tiles $\mathbb{R}^d$ by translations then it admits at least one periodic tiling. Fuglede's conjecture suggests that $Ω$ admits an orthogonal basis of exponential functions if and only if it tiles $\mathbb{R}^d$ by translations. Both conjectures are known to be false in sufficiently high dimensions, with all the so-far-known counterexamples being highly disconnected. On the other hand, both conjectures are known to be true for convex sets. In this work we study these conjectures for connected sets. We show that the periodic tiling conjecture, as well as both directions of Fuglede's conjecture are false for connected sets in sufficiently high dimensions.

연구 동기 및 목표

• 타일이 연결되어 있을 때, 고차원에서 평행 타일(전이 타일)이 반드시 주기적 타일링을 허용하는지 조사한다.
• 유클리드 공간에서 연결된 집합에 대해 스펙트럴 집합과 평행 타일링(이동에 의한 타일링)을 연결하는 Fuglede 추측을 고찰한다.
• 서로 분리된 구성 요소를 연결하면서 타일링 및 스펙트럴 특성을 보존하는 차원 상승 기법을 개발한다.
• 고차원에서 연결되고 비주기적인 이동 타일과 연결된 스펙트럴 비타일을 생성하는 구성들을 제공한다.

제안 방법

• folded-bridge 구성에 의해 Z^d의 유한 타일 F를 Z^{d+2}의 연결 타일 F'로 끌어올리는 비주기성 보존 연산을 도입한다.
• folded-bridge 연산이 비주기성 및 타일링 성질을 보존함을 보인다(정리 2.1).
• 상위 차원에 다리를 삽입하여 타일링하지 않는 연결 스펙트럴 집합을 구축하는 방법을 확장한다(정리 1.4).
• 연속적인 spiral-bridge 보강을 반복하여 스펙트럴하지 않은 연결된 이동 타일을 구성한다(정리 1.5).
• 곱타일링 및 스펙트럴 보존 주장을 사용해 특정 증강 집합이 타일링 또는 스펙트럴 특성을 상속받는 것을 보인다(정리 3.1).
• 저차원 집합의 성질을 고차원 연결 구성과 관련시키기 위해 stacking 및 bridging 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타일이 연결되어 있을 때, 고차원에서 평행 타일링을 반드시 허용하는가?
• RQ2 연결된 집합이 평행하게 타일링하는 경우 반드시 스펙트럴 구조를 가지는가, 그리고 그 반대도 성립하는가(Fuglede의 추측) 고차원에서?
• RQ3 서로 분리된 반례를 연결된 반례로 변환해도 타일링 또는 스펙트럴 특성이 손상되지 않는가?
• RQ4 차원 상승 하에서 타일링/스펙트럴 특성을 보존하는 강건한 연산은 무엇인가(예: folded bridges, spiral bridges, stacking)?

주요 결과

• 충분히 고차원에서 연결된 집합이 이동에 의한 타일링은 가능하되 비주기적일 수 있다(비주기적 타일).
• 충분히 고차원에서 연결된 스펙트럴 집합이 이동에 의해 타일링하지 않는 경우가 있다.
• 고차원에서 연결된 이동 타일이 스펙트럴하지 않은 경우가 있다.
• 일부 차원 상승 연산은 타일링 및 스펙트럴 특성을 보존한다(folded bridges 및 그 변형).
• Z^d+2에서 folding-bridge 구성은 비주기적 타일의 구성 요소를 연결하면서 비주기성과 타일링을 보존하여 연결된 비주기적 타일을 생성한다.
• 고차원에서 spiral-bridge 구성은 타일링은 가능하지만 비스펙트럴한 연결 타일을 생성하며, 반복을 통해 비스펙트럴성 보존도 가능하다.