[논문 리뷰] Time analyticity for the heat equation and Navier-Stokes equations

Hongjie Dong, Qi S. Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리만다만의 리치 곡률이 아래에서 유계이고, 전체 공간에서 유계의 미만 해를 갖는 나비에-스토크스 방정식에 대해, 차수 2의 지수 성장 조건 하에서 열 방정식의 해에 대해 점별 시간 해석성을 확립한다. 핵심 결과는 악조건의 역열 방정식에 대한 날카로운 해가 존재하는 조건이며, 실변수 방법을 사용하여 모든 차원에서 나비에-스토크스 해에 대한 첫 번째 일반적인 점별 시간 해석성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We prove the analyticity in time for solutions of two parabolic equations in the whole space, without any decaying or vanishing conditions. One of them involves solutions to the heat equation of exponential growth of order $2$ on $\M$. Here $\M$ is $\R^d$ or a complete noncompact manifold with Ricci curvature bounded from below by a constant. An implication is a sharp solvability condition for the Cauchy problem of the backward heat equation, which is a well known ill-posed problem. Another implication is a sharp criteria for time analyticity of solutions down to the initial time. The other pertains bounded mild solutions of the incompressible Navier-Stokes equations in the whole space. There are many long established analyticity results for the Navier-Stokes equations. See for example \cite{Ka:1} and \cite{FT:1} for spatial and time analyticity in certain integral sense, \cite{CN:1} for pointwise space-time analyticity of 3 dimensional solutions to the Cauchy problem, and also the pointwise time analyticity results of \cite{Ma:1} and \cite{Gi:1} under zero boundary condition. Our result seems to be the first general pointwise time analyticity result for the Cauchy problem for all dimensions, whose proof involves only real variable method. The proof involves a method of algebraically manipulating the integral kernel, which appears applicable to other evolution equations.

연구 동기 및 목표

• 완비 비유계 다양체에서 리치 곡률이 아래에서 유계인 경우 열 방정식의 해에 대해 시간 해석성을 확립한다.
• 지수 성장 조건이 차수 2인 해의 클래스에서 악조건의 역열 방정식에 대해 날카로운 해가 존재하는 조건을 제시한다.
• 전체 공간에서 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 유계의 미만 해에 대해 점별 시간 해석성을 증명한다.
• 복소화나 적분 노름을 피하는 일반적인 포물형 방정식에 적용 가능한 실변수 방법을 개발한다.
• 이전의 해석성 결과를 경계 조건이나 감쇠 조건 없이 초기 시간까지 전체 시간 간격으로 확장한다.

제안 방법

• 복소화 기법을 피하기 위해 열 전파자 적분 커널을 대수적으로 다루는 실변수 방법을 사용한다.
• 고차 시간 도함수의 스케일링된 해를 제어하기 위해 그론월의 부등식을 적용한다.
• 귀납법과 라이프니츠 규칙을 사용하여 $ t^n u(t,x) $의 시간 도함수를 추정하며, 열 커널 및 그 도함수의 감쇠 추정을 활용한다.
• 시간 도함수 $ \partial_t^n(t^n u) $의 $ L_∞ $-노름을 유도하며, 그 성장률이 $ N^n n^n $으로 제한됨을 보여, 테일러 급수의 수렴성을 확인한다.
• 공간 정(regularity)과 시간 해석성 간의 연결을 위해 $ \Delta a_j = a_{j+1} $의 구조를 활용한다.
• 이 방법을 다각도에서의 열 방정식과 나비에-스토크스 방정식에 모두 적용하며, 후자의 경우 미만 해의 표현과 콘볼루션 구조에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에서 감쇠 또는 소멸 조건 없이 리치 곡률이 아래에서 유계인 다각도에서 열 방정식의 해에 대해 시간 해석성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 지수 성장 조건이 차수 2인 해의 클래스에서 역열 방정식에 대해 날카로운 해가 존재하는 조건이 존재하는가?
• RQ3 전체 공간에서 $ \mathbb{R}^d $ 에서의 유계의 미만 나비에-스토크스 해에 대해 점별 시간 해석성이 모든 차원에서 성립하는가? 그리고 실변수 방법으로 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 적분 커널을 대수적으로 다루는 방법을 열 방정식과 나비에-스토크스 방정식 외의 일반 포물형 방정식으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 시간 해석성이 성립하기 위한 최적의 성장 조건은 무엇이며, 지수 성장 조건이 차수 2는 날카로운가?

주요 결과

• 리치 곡률이 $ \mathrm{Ric} \geq -(d-1)K_0 $ 를 만족하고 지수 성장 조건이 차수 2인 다각도에서의 열 방정식 해는 $ [-1,0] $ 에서 시간 해석적이며, 반경은 $ d $, $ K_0 $, 그리고 성장 상수 $ A_2 $ 에만 의존한다.
• 해는 수렴하는 테일러 급수로 표현된다: $ u(t,x) = \sum_{j=0}^\infty a_j(x) \frac{t^j}{j!} $, 여기서 $ \Delta a_j = a_{j+1} $.
• 계수는 $ |a_j(x)| \leq A_1 A_3^{j+1} j^j e^{2A_2 d^2(x,0)} $ 를 만족하며, $ j $ 에 대해 제어 가능한 성장을 보인다.
• 전체 공간에서의 유계의 미만 나비에-스토크스 방정식 해는 시간 해석적이며, 이는 유일 연장성과 특이점 분석에 잠재적 응용을 가능하게 한다.
• 이 방법은 역열 방정식에 대해 날카로운 해가 존재하는 조건을 도출한다: 해가 존재하는 것은 유일하게 시간 해석적이며 성장 조건을 만족할 때이다.
• 시간 도함수 $ t^n u(t,x) $ 의 실변수 추정에 기반한 증명 기법은 $ \| \partial_t^n(t^n u) \|_{L_\infty} \leq N^n n^n $ 를 도출하며, 이는 테일러 급수의 수렴성을 확인한다.