[논문 리뷰] Time as a quantum observable

V. S. Olkhovsky, Erasmo Recami|ArXiv.org|2006. 05. 07.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 47인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비상대론적 입자와 1차 양자 전기역학에서의 광자에 대해 에너지와 캐논리컬하게 쌍대되는 헤르미트(최대 대칭이지만 자기수반은 아님) 시간 연산자를 양자역학에서 제안한다. 이 연산자가 일관적으로 정의될 수 있음을 보이며, 오랫동안 지속된 시간을 양자 관측량으로서 다루는 문제를 해결하고, 양자 이론에서 시간과 에너지 간의 더 균형 잡힌 다루움을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Some results are reviewed and developments are presented on the study of Time in quantum mechanics as an observable, canonically conjugate to energy. Operators for the observable Time are investigated in particle and photon quantum theory. In particular, this paper deals with the hermitian (more precisely, maximal hermitian, but non-selfadjoint) operator for Time which appears: (i) for particles, in ordinary non-relativistic quantum mechanics; and (ii) for photons, in first-quantization quantum electrodynamics.

연구 동기 및 목표

• 양자역학에서 시간이 일반적으로 관측량이 아니라 고전적 매개변수로 간주되는 기초적 문제를 다루기 위해.
• 양자이론에서 자기수반이거나 적어도 최대 대칭(헤르미트)인 시간 연산자가 일관되게 정의될 수 있는지 조사하기 위해.
• 비상대론적 양자역학과 1차 양자 전기역학에서 시간을 관측량으로 포함하는 양자역학의 형식을 확장하기 위해.
• 에너지-시간 불확정성 관계의 맥락에서 이전 접근법의 개념적 및 수학적 모순을 해결하기 위해.
• 캔서터 미분관계 [T, H] = iℏ를 유지하면서 비유계성과 비자기수반성 문제를 피하는 시간을 관측량으로 다룰 수 있는 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 해밀토니안 H와 캐논리컬하게 쌍대되는 캐논리컬 미분관계 [T, H] = iℏ를 만족하는 헤르미트(최대 대칭) 시간 연산자 T를 구성한다.
• 스핀이 없는 입자의 비상대론적 양자역학에 이 형식을 적용하여, 해밀토니안의 스펙트럼 분해로부터 시간 연산자를 유도한다.
• 시간 연산자를 1차 양자 전기역학에서 광자에 대해 확장하여, 상대론적으로 일관된 프레임워크 내에서 시간을 관측량으로 간주한다.
• 스펙트럼 이론과 연산자 이론을 사용하여 밀도가 높은 정의역에서 시간 연산자를 정의하여 대칭성과 최대 정의성을 보장한다.
• 시간 연산자의 성질, 특히 스펙트럼과 정의역을 분석하고, 이전 제안들(예: 비유계성 또는 비자기수반성)의 문제를 피함을 보여준다.
• 캔서터 미분관계로부터 ΔEΔT ≥ ℏ/2를 유도하여 에너지-시간 불확정성 원리와의 일관성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자역학에서 에너지와 캐논리컬하게 쌍대되는 헤르미트 시간 연산자가 일관되게 정의될 수 있는가?
• RQ2 비상대론적 양자역학에서 이러한 시간 연산자의 수학적 및 물리적 성질은 무엇인가?
• RQ3 시간 연산자는 어떻게 비상대론적 시스템, 예를 들어 1차 양자 전기역학에서 광자를 포함한 상대론적 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 관측 가능한 시간의 존재가 에너지-시간 불확정성 관계의 모순을 해결하는가?
• RQ5 양자 측정과 동역학에 있어 비자기수반이지만 최대 대칭인 시간 연산자의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 에너지 해밀토니안 H와 캐논리컬하게 쌍대되는 캐논리컬 미분관계 [T, H] = iℏ를 만족하는 헤르미트(최대 대칭이지만 자기수반은 아님) 시간 연산자 T가 구성된다.
• 시간 연산자는 해밀토니안의 스펙트럼 분해를 통해 정의되어, 적절한 힐베르트 공간에서 대칭적이며 밀도가 높은 정의역을 가짐을 보장한다.
• 시간 연산자의 스펙트럼이 전체 실수선임을 보이며, 시간이 비유계이고 연속적임과 일관됨을 입증한다.
• 캔서터 미분관계로부터 직접적으로 ΔEΔT ≥ ℏ/2를 도출하여 물리적 일관성을 확인한다.
• 형식은 1차 양자 전기역학에서 광자에 대해 성공적으로 확장되어, 상대론적 양자 시스템에서 시간이 관측량으로 가능함을 보여준다.
• 이전 제안들의 문제들(예: 비유계성 또는 비자기수반성)을 피하여 시간을 양자 관측량으로 다룰 수 있는 수학적으로 일관된 프레임워크를 제공한다.