[논문 리뷰] Time consistency and moving horizons for risk measures

Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 08.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이동하는 수평선 하에서 동적 위험 측정에 대해 '신뢰성'이라는 새로운 시간 일관성 형태를 도입한다. 여기서 위험은 시간이 지남에 따라 앞으로 이동하는 고정된 미래 창(예: 1년) 동안 평가된다. 정책 선택지가 잘라내기 닫힘 조건을 만족할 경우(즉, 투자자가 언제든 철회할 수 있을 경우), 이동 수평선을 사용해 유도된 최적 정책은 동등한 재귀적 일관성 값을 갖는 함수와 동일하며, 이는 수평선 이동에도 불구하고 의사결정의 신뢰성을 보장한다.

ABSTRACT

We consider portfolio selection when decisions based on a dynamic risk measure are affected by the use of a moving horizon, and the possible inconsistencies that this creates. By giving a formal treatment of time consistency which is independent of Bellman's equations, we show that there is a new sense in which these decisions can be seen as consistent.

연구 동기 및 목표

• 이동 수평선 접근법을 사용할 경우, 고정된 미래 창(예: 1년) 동안 위험이 평가되는 동적 위험 관리에서 시간 비일관성을 다루기 위해.
• 수평선 이동 시에도 최적 결정이 여전히 안정적일 수 있도록 보장하는 새로운 일관성 성질인 '신뢰성'을 정식화하기 위해.
• 정책 공간이 잘라내기 닫힘 조건을 만족할 경우, 이동 수평선 의사결정이 재귀적 일관성 값을 갖는 함수와 일치함을 보여주기 위해.
• 장기 모델링이 불가능한 실무 상황에서 이동 수평선을 사용하는 데 이론적 근거를 제공하기 위해.
• 이동 수평선 위험 측정이 여전히 신뢰할 수 있고 시간 일관성 있는 결정을 도출할 수 있는 조건을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 벨만 원리에 의존하지 않는 새로운 시간 일관성 정의인 '신뢰성'을 제안하며, 수평선 이동 상황에서 의사결정의 신뢰성에 초점을 맞춘다.
• 이동 수평선에서 정책을 잘라내는 방식으로 제한된 수정된 값 함수 $\tilde{\mathcal{V}}_t(X)$를 사용하여, 시간 $t$에서 원래 위험 측정과의 일관성을 확보한다.
• 정책의 잘라내기 닫힘 개념을 적용: 어떤 정책 $X$가 允허되면, 임의의 정지 시간 $\tau$에 대해 $I_{[0,\tau[}X$도 허용되며, 이는 향후 결정이 현재 선택을 뒤엎지 않음을 보장한다.
• 정책 공간이 잘라내기 닫힘 조건을 만족할 경우, 원래 값 함수 $\mathcal{V}_t$와 잘라낸 후의 신뢰성 있는 버전인 $\tilde{\mathcal{V}}_t$에 대한 최적 정책이 동일하다는 것을 증명한다.
• 후방 확률 미분 방정식(Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs)과 비선형 기대를 사용하여 재귀적 위험 측정의 기초를 마련하며, $\rho$가 $\mathcal{F}_t$-일관성 있는 비선형 기대라고 가정한다.
• 값 함수가 수평선까지 재귀적이며 정책이 잘라내기 닫힘 조건을 만족할 경우, 이동 수평선 하에서의 최적 정책은 신뢰성 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 재귀성의 실패에도 불구하고, 이동 수평선을 사용할 경우 동적 위험 측정에서 시간 일관성이 유지될 수 있는가?
• RQ2 이동 수평선 하에서 의사결정이 향후 행동과 일관되게 유지되도록 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 잘라내기 닫힘 정책 공간의 도입이 이동 수평선 위험 평가에서 최적 결정의 일관성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 수정된 값 함수 $\tilde{\mathcal{V}}_t$가 이동 수평선 하에서 의사결정의 신뢰성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 이동 수평선에서 유도된 최적 정책이 재귀적 일관성 위험 측정에서의 최적 정책과 동일한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 원래 값 함수 $\mathcal{V}_0$ 하에서 유도된 최적 정책 $X^0$은 $\mathcal{V}_0(X^0) = 0.1889$를 보이지만, 이 정책는 $\mathcal{V}_0(X^0) < \mathcal{V}_0(\hat{X}) = -2.4926$ 이므로 시간 일관성이 아니다.
• 정책 공간이 잘라낸 닫힘 정책 $\tilde{\mathcal{U}}_t^{\hat{X}}$로 제한될 경우, 수정된 값 함수 $\tilde{\mathcal{V}}_0$ 는 $\tilde{\mathcal{V}}_0(X^0) = 0.1889 < \tilde{\mathcal{V}}_0(\hat{X}) = 0.4741$ 를 보여주며, 이는 $\hat{X}$ 가 이제는 신뢰성 있는 프레임워크 하에서 최적임을 시사한다.
• 값 함수 $\tilde{\mathcal{V}}_t$ 는 잘라낸 정책 공간에서 $\mathcal{V}_t$ 와 일치하므로, 원래 평가와 신뢰성 있는 평가 간의 일관성을 보장한다.
• 정책 $X$ 가 수용 가능하다면(즉, $\tilde{\mathcal{V}}_0(X) \geq 0$), 그리고 정책 공간이 잘라내기 닫힘 조건을 만족할 경우, 최적의 실현 정책 $\hat{X}$ 는 $\tilde{\mathcal{V}}_0(\hat{X}) \geq \tilde{\mathcal{V}}_0(X^0) \geq \tilde{\mathcal{V}}_0(X) \geq 0$ 를 만족하며, 이는 신뢰성 보장을 보장한다.
• 이 결과는 기초 위험 측정이 재귀적 $\mathcal{F}_t$-일관성 비선형 기대라는 가정 하에서 성립하며, 공준적 Value at Risk와 같이 비재귀적 측정에는 적용되지 않는다.
• 논문은 투자자가 언제든 철회할 수 있을 경우, 이동 수평선 접근법이 위험 관리에서 정당화될 수 있으며, 이는 최적 의사결정의 신뢰성을 보장하기 때문이다.