[논문 리뷰] Time Consistent Stopping For The Mean-Standard Deviation Problem --- The Discrete Time Case

Erhan Bayraktar, Jingjie Zhang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 23.

Auction Theory and Applications참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간 일致성을 확보하기 위해 이산 시간에서 무한 시간 영역의 평균-표준편차 정지 문제를 하위게임 완전 내쉬 균형으로 공식화한다. 유동성 전략(정지 권리의 분할 가능성을 허용하는 전략)을 도입하고, 균형 유동성 전략이 항상 존재함을 증명하지만, 최적의 균형은 유일하거나 심지어 존재하지 않을 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

Inspired by Strotz's consistent planning strategy, we formulate the infinite horizon mean-variance stopping problem as a subgame perfect Nash equilibrium in order to determine time consistent strategies with no regret. Equilibria among stopping times or randomized stopping times may not exist. This motivates us to consider the notion of liquidation strategies, which lets the stopping right to be divisible. We then argue that the mean-standard deviation variant of this problem makes more sense for this type of strategies in terms of time consistency. It turns out that an equilibrium liquidation strategy always exists. We then analyze whether optimal equilibrium liquidation strategies exist and whether they are unique and observe that neither may hold.

연구 동기 및 목표

• 시간 일관성을 확보하기 위해 평균-분산 최적 정지 문제를 하위게임 완전 내쉬 균형으로 공식화함으로써 시간 비일관성을 해결하고자 한다.
• 무한 시간 영역의 이산 시간 설정에서 순수 또는 랜덤화된 정지 시간 간의 균형 존재 실패 문제를 다루고자 한다.
• 정지 권리의 분할 가능성을 허용하는 혁신적인 혼합 전략 클래스로 유동성 전략을 도입하고, 시간 일관성을 복원하고자 한다.
• 평균-표준편차 기준 하에서 균형 유동성 전략의 존재성, 유일성, 최적성에 대해 분석하고자 한다.
• 최적 균형이 존재하지 않거나 유일하지 않을 수 있음을 보여주되, 파레토 최적 균형은 항상 존재함을 보여주고자 한다.

제안 방법

• 시간 일관성을 보장하기 위해 평균-표준편차 문제를 하위게임 완전 내쉬 균형으로 공식화한다.
• 정지 시간이 상태 간에 연속적인 정지 권리 할당으로 표현되는 유동성 전략을 도입한다.
• 균형 조건을 고정점 문제로 정의한다: 전략 η가 각 상태 x에서 유동성 수익을 최대화할 경우 균형이 된다.
• 고정된 η에 대해 최적 반응 ξ(·) = h_x(η)를 정의하는 연산자 T를 사용하고, 고정점을 구한다.
• 균형 전략을 조건 h_x(η) = η(x)로 특성화하며, 여기서 h_x(η)는 평균-표준편차 기준의 이차 최적화로부터 유도된다.
• 도식적 및 분석적 방법을 적용하여 특정 예시에서 균형의 존재성과 유일성을 검증하며, 곡선 g_x(a,b) = x의 교차점을 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 시간 영역의 이산 시간 평균-표준편차 정지 문제에서 순수 또는 랜덤화된 정지 시간 간의 균형이 존재하는가?
• RQ2 유동성 전략은 평균-표준편차 정지 문제의 시간 비일관성을 해결할 수 있는가?
• RQ3 최적의 균형 유동성 전략이 존재하는 조건은 무엇이며, 이것이 유일한가?
• RQ4 파레토 최적 균형 유동성 전략은 항상 존재함을 보장할 수 있는가?
• RQ5 특정 마르코프 과정에서 평균과 분산이 유동성 수익에 전략 매개변수에 따라 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 무한 시간 영역의 이산 시간 평균-표준편차 정지 문제에서 순수 또는 랜덤화된 정지 시간 간의 균형이 존재하지 않을 수 있다.
• 정지 권리의 분할 가능성을 허용하는 유동성 전략은 항상 최소한 하나의 균형을 갖는다.
• 지점별 지배 기준에 따른 최적 균형이 존재하지 않을 수 있다.
• 최적 균형이 존재하더라도, 매개변수 공간의 경계에 다수의 균형 점이 존재함으로써 유일하지 않을 수 있다.
• 예제 4.1에서 곡선 h_1(a,b) = a와 h_7(a,b) = 7은 정확히 한 점에서 만남을 이루며, 이는 유일한 균형 유동성 전략에 해당한다.
• 예제 4.2에서 곡선 g_11(a,b) = 11과 g_17(a,b) = 17의 교차점을 그래픽 분석을 통해 확인하였으며, 이는 다섯 점에서 발생하며, 이 모든 점이 균형으로 확인되었다.