[논문 리뷰] Time-dependence in non-Hermitian quantum systems

Thomas Frith|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 137인용 수 1

한 줄 요약

이 학위논문은 시간에 의존하는 비헤르미트 양자역학계를 다루기 위해 시간에 의존하는 다이슨 방정식과 준헤르미트성 방정식, 루이스-라이즈너 불변량, 그리고 다르부 변환을 활용한 통합적 프레임워크를 개발한다. 자발적 PT 대칭이 깨진 시스템에 대해 해석적 해를 구현하며, 이는 이중준위 모델, 스핀 시스템, 결합된 진동자 등을 포함한다. 이는 시간에 의존하는 변환을 통해 PT 대칭이 유지되거나 복구될 수 있음을 보여주며, 엔트로피 진동과 해석 가능한 잠재력에 응용한다.

ABSTRACT

We present a coherent and consistent framework for explicit time-dependence in non-Hermitian quantum mechanics. The area of non-Hermitian quantum mechanics has been growing rapidly over the past twenty years. This has been driven by the fact that $\mathcal{PT}$-symmetric non-Hermitian systems exhibit real energy eigenvalues and unitary time evolution. Historically, the introduction of time into the world of non-Hermitian quantum mechanics has been a conceptually difficult problem to address, as it requires the Hamiltonian to become unobservable. We solve this issue with the introduction of a new observable energy operator and explain why its instigation is a necessary and natural progression in this setting. For the first time, the introduction of time has allowed us to make sense of the parameter regime in which the $\mathcal{PT}$-symmetry is spontaneously broken. Ordinarily, in the time-independent setting, the energy eigenvalues become complex and the wave functions are asymptotically unbounded. We demonstrate that in the time-dependent setting this broken symmetry can be mended and analysis on the spontaneously broken $\mathcal{PT}$ regime is indeed possible. We provide many examples of this mending on a wide range of different systems, beginning with a $2 imes2$ matrix model and extending to higher dimensional matrix models and coupled harmonic oscillator systems with infinite Hilbert space. Furthermore, we use the framework to perform analysis on time-dependent quasi-exactly solvable models. We present the "eternal life" of entropy in this thesis. Ordinarily, for entangled quantum systems coupled to the environments, the entropy decays rapidly to zero. However, in the spontaneously broken regime, we find the entropy decays asymptotically to a non-zero value. We create an elegant framework for Darboux and Darboux/Crum transformations for time-dependent non-Hermitian Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 정적 경우를 초월한 비헤르미트 양자역학에 대한 엄밀한 시간에 의존하는 형식을 수립하기 위해.
• 시간에 따라 변화하는 시스템에서 PT 대칭의 붕괴 문제를 해결하기 위해 시간에 의존하는 다이슨 사상과 준헤르미트성 구조를 구성하기 위해.
• 루이스-라이즈너 불변량과 다르부 변환과 같은 해석 가능한 방법을 시간에 의존하는 비헤르미트 해밀토니안으로 확장하기 위해.
• 특히 시스템- bath 모델에서의 얽힘 엔트로피를 포함한 개방계 비헤르미트 시스템의 엔트로피 역학을 분석하기 위해.
• 특히 복소수 고론-볼코프 해밀토니안에서 유도된 시간에 의존하는 다르부-크룸 변환을 통해 새로운 해석 가능한 비헤르미트 잠재력을 구성하기 위해.

제안 방법

• 다양한 해밀토니안 클래스에 대해 행렬 기법과 대수적 기법을 사용하여 시간에 의존하는 다이슨 방정식과 시간에 의존하는 준헤르미트성 방정식을 풀었다.
• 시간에 의존하는 비헤르미트 시스템에 루이스-라이즈너 불변량을 적용하여 유사성 변환을 통해 다이슨 사상과 연결지었다.
• 시간에 의존하는 다르부-크룸 변환을 사용하여 기존의 해석 가능한 비헤르미트 잠재력을 바탕으로 새로운 해석 가능한 비헤르미트 잠재력을 생성하였다.
• 손실항이 포함된 에르마코프-피니 방정식을 표준 형태로 변환하여 정확한 해를 도출하였다.
• 역행성 조화진동자 및 i(xy) 및 ixy 상호작용을 갖는 결합된 진동자와 같은 시스템에 대해 시간에 의존하는 다이슨 사상을 구성하였다.
• 비단위 동역학을 추적하기 위해 바나흐 엔트로피를 사용하여 PT 대칭 하에서 시스템-바스 모델의 엔트로피 진동을 분석하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자발적 PT 대칭이 깨진 비헤르미트 해밀토니안에 대해 시간에 의존하는 다이슨 사상을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 시간에 의존하는 루이스-라이즈너 불변량을 사용하여 비헤르미트 시스템에서 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 해결할 수 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 비헤르미트 시스템에서 붕괴된 PT 대칭을 복구할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 시간에 의존하는 다르부 변환은 어떻게 새로운 해석 가능한 비헤르미트 잠재력을 생성하는가?
• RQ5 비헤르미트 시스템-바스 모델에서 시간에 따라 진동할 경우 얽힘 엔트로피의 거동는 어떠한가?

주요 결과

• 시간에 의존하는 다이슨 사상은 이중준위 모델과 스핀-1 시스템에서 시간 의존성이 적절히 조절될 경우 PT 대칭을 성공적으로 복원한다.
• i(xy) 결합 진동자에 대해, 효과적 해밀토니안의 헤르미트성을 유지하는 시간에 의존하는 다이슨 사상을 구성하였으며, 이는 정확한 해를 가능하게 하였다.
• 깨진 PT 영역에서의 에너지 관측량 Ẽ±(t)는 시간에 따라 변하는 진폭을 가지며, 비정상적인 동역학을 나타낸다.
• 역행성 조화진동자에 대해서는 물리적 구조를 유지하는 시간에 의존하는 다이슨 사상을 유도하였다.
• 손실항이 포함된 에르마코프-피니 방정식은 질량 함수의 적분을 포함한 명시적 해를 도출하기 위해 표준 형태로 변환하여 정확히 해결하였다.
• 시스템-바스 모델에서의 엔트로피 진동은 결합 상수와 시간 진동에 따라 세 가지 별개의 영역을 보였다: 진동형, 지수 감쇠형, 비단조성 행동.