[논문 리뷰] Time-dependent Darboux transformation and supersymmetric hierarchy of Fokker-Planck equations

Choon-Lin Ho|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 08.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일정한 확산과 비정상적인 비력이 있는 포크-플랑크 방정식(FPEs)을 해결하기 위해 시간에 의존하는 다르부 변환 프레임워크를 제안한다. FPE를 비정상적인 셰르레딩거 방정식으로 매핑하고, 초대칭 양자역학 기법을 적용함으로써, 비력 포텐셜이 형상 불변성 조건을 만족할 경우, 해가 다르부 변환을 통해 상호 연결되는 FPE의 계층을 구성한다. 이는 광범위한 시간에 의존하는 시스템에 대해 정확한 해석적 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

A procedure is presented for solving the Fokker-Planck equation with constant diffusion but non-stationary drift. It is based on the correspondence between the Fokker-Planck equation and the non-stationary Schr\"odinger equation. The formalism of supersymmetric quantum mechanics is extended by applying the Darboux transformation directly to the non-stationary Schr\"odinger equation. From a solution of a Fokker-Planck equation a solution of the Darboux partner is obtained. For drift coefficients satisfying the condition of shape invariance, a supersymmetric hierarchy of Fokker-Planck equations with solutions related by the Darboux transformation is obtained.

연구 동기 및 목표

• 비정상적인 시스템에 대해 초대칭 양자역학을 시간에 의존하는 형태로 확장하여 포크-플랑크 방정식을 해결하는 것.
• 비정상적인 비력과 일정한 확산을 가진 FPE의 정확한 해를 생성하는 체계적인 방법을 개발하는 것.
• 형상 불변성 포텐셜을 사용하여 FPE의 초대칭 계층을 수립하는 것.
• 파트너 FPE의 해가 시간에 의존하는 다르부 변환을 통해 상호 연결됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 확산 계수가 일정한 포크-플랑크 방정식을 변환 P(x,t) = e^{-W(x,t)}ψ(x,t)를 통해 비정상적인 셰르레딩거 방정식으로 매핑한다.
• 원래 방정식의 해 ψ₀를 사용하여 비정상적인 셰르레딩거 방정식에 직접적으로 시간에 의존하는 다르부 변환을 적용한다.
• 변환된 포텐셜 Ṽ와 파동함수 ψ̃은 각각 Ṽ = V - 2(ln ψ₀)′′ 및 ψ̃ = (∂x - (ln ψ₀)′)ψ 공식을 통해 유도된다.
• 전구간 W(x,t)를 사용하여 비력 계수를 D(1)(x,t) = -2W′(x,t)로 정의함으로써 FPE와 양자역학적 포텐셜을 연결한다.
• 전구간 W₀에 형상 불변 조건을 도입하여, 등스펙트럴 해를 가지는 FPE의 재귀적 계층을 생성한다.
• 도함수와 지수 인자들을 포함한 재귀 공식을 사용하여 Pₙ(x,t)로부터 Pₙ₊₁(x,t)의 n번째 차수 해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하는 다르부 변환을 일정한 확산과 비정상적인 비력을 가진 비정상적인 포크-플랑크 방정식에 적용할 수 있는가?
• RQ2 초대칭 양자역학은 어떻게 시간에 의존하는 시스템으로 확장되어 FPE를 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 해석적으로 풀 수 있는 해를 가지는 초대칭 계층의 FPE를 구성할 수 있는가?
• RQ4 전구간의 형상 불변성이 어떤 조건에서 닫힌 형태의 해 계층을 이끌어내는가?

주요 결과

• 일정한 확산을 가진 비정상적인 포크-플랑크 방정식에서 유도된 비정상적인 셰르레딩거 방정식에 대해 시간에 의존하는 다르부 변환이 성공적으로 적용되었다.
• 포크-플랑크 방정식의 해와 그 다르부 파트너의 해는 해 ψ₀의 로그 도함수를 포함하는 변환을 통해 상호 연결되어 있다.
• 전구간 W₀가 형상 불변 조건을 만족할 경우, 서로 다른 해가 다르부 변환으로 연결되는 완전한 포크-플랑크 방정식의 계층이 생성된다.
• 계층의 n번째 성분은 비력 계수 D(1) = -2W′ₙ를 가지며, 여기서 Wₙ은 {a₀, a₁, ...}의 집합으로 매개변수화된 전구간이다.
• (n+1)번째 FPE의 해 Pₙ₊₁(x,t)는 Pₙ(x,t)로부터 공식 Pₙ₊₁ = e^{-(Wₙ₊₁ - Rₙt)}(∂x + W′ₙ)(e^{Wₙ}Pₙ)를 통해 유도되며, 여기서 Rₙ은 시간에 의존하는 스케일링 인자이다.
• 이 방법은 비정상적인 비력을 가진 광범위한 FPE 클래스에 대해 정확한 해석적 해를 도출하며, 시간에 의존하지 않는 경우를 초월하여 초대칭 기법의 적용 가능성을 넓힌다.