[논문 리뷰] Time Dependent Hamiltonian Simulation Using Discrete Clock Constructions

J. Watkins, Nathan Wiebe외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 확장된 하이젠베르크 공간 위의 시간에 의존하지 않는 시스템으로 시간에 의존하는 하미르토니안을 매핑함으로써 시간에 의존하는 하미르토니안을 시뮬레이션하기 위한 이산 클록 구축법을 제안한다. 이는 기존의 제품 공식 및 큐비트라이제이션 기법의 활용을 가능하게 하며, 다항로그형 오차 스케일링과 교환자에 의존하는 오차 억제를 달성하여 물리적으로 국소적인 시간에 의존하는 하미르토니안에 대해 기존 방법들을 능가한다.

ABSTRACT

Compared with time independent Hamiltonians, the dynamics of generic quantum Hamiltonians $H(t)$ are complicated by the presence of time ordering in the evolution operator. In the context of digital quantum simulation, this difficulty prevents a direct adaptation of time independent simulation algorithms for time dependent simulation. However, there exists a framework within the theory of dynamical systems which eliminates time ordering by adding a "clock" degree of freedom. In this work, we provide a computational framework, based on this reduction, for encoding time dependent dynamics as time independent systems. As a result, we make two advances in digital Hamiltonian simulation. First, we create a time dependent simulation algorithm based on performing qubitization on the augmented clock system, and in doing so, provide the first qubitization-based approach to time dependent Hamiltonians that goes beyond Trotterization of the ordered exponential. Second, we define a natural generalization of multiproduct formulas for time-ordered exponentials, then propose and analyze an algorithm based on these formulas. Unlike other algorithms of similar accuracy, the multiproduct approach achieves commutator scaling, meaning that this method outperforms existing methods for physically-local time dependent Hamiltonians. Our work reduces the disparity between time dependent and time independent simulation and indicates a step towards optimal quantum simulation of time dependent Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 다중제품공식(MPFs)과 큐비트라이제이션을 사용하여 시간에 의존하는 하미르토니안을 시뮬레이션하기 위한 확장 가능하고 엄밀한 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 시간순서 지수함수를 일반적인 연산자 지수함수로 변환하기 위해 이산 클록 레지스터를 통해 유한차원이고 유계된 형식을 제공하기 위해.
• 시간에 의존하지 않는 시뮬레이션 기법—특히 MPFs와 큐비트라이제이션—을 시간에 의존하는 동역학에 적용할 수 있도록 하며, 증명 가능한 오차 경계를 확보하기 위해.
• 교환자 스케일링과 다항로그형 오차 스케일링을 모두 갖춘 체계적이고 확장 가능한 시간에 의존하는 하미르토니안 시뮬레이션의 접근법을 수립하기 위해.
• 두 번째 도함수가 유계인 조건 하에서 큐비트라이제이션을 시간에 의존하는 설정으로 확장할 수 있는 실용적 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시간 진동을 표현하기 위해 유한차원 이산 클록 레지스터를 도입하여, 시간순서 지수함수를 확장된 하이젠베르크 공간 위의 일반적인 연산자 지수함수로 변환한다.
• 클록 레지스터를 사용해 이산 시간 이동 연산자를 통해 시간 진동을 인코딩함으로써, 표준 시간에 의존하지 않는 시뮬레이션 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 물리계와 클록의 조합 시스템 위에 시간에 의존하지 않는 효과적 하미르토니안을 구성하여, 모든 연산자가 끝이 나고 유한차원임을 보장한다.
• 확장된 시스템에서 다중제품공식(MPFs)을 적용하여, 클록 큐비트 수에 대해 $n$차 수렴과 다항로그형 오차 스케일링을 달성한다.
• 이 형식을 활용해 큐비트라이제이션을 시간에 의존하는 하미르토니안으로 일반화하고, 하미르토니안의 두 번째 도함수가 작을 경우에만 가능함을 보여준다.
• 스펙트럴 노름과 $L^1$-노름 분석을 통해 오차를 경계하고 클록 차원이 증가함에 따라 수렴이 보장됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 클록 구축법은 시간에 의존하는 하미르토니안을 시간에 의존하지 않는 시뮬레이션 기법을 사용하여 엄밀하고 유한차원적인 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ2 다중제품공식(MPFs)은 시간에 의존하는 하미르토니안에 어떻게 적응시킬 수 있으며, 교환자 스케일링을 유지하면서 다항로그형 오차 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ3 큐비트라이제이션은 어떤 조건에서 시간에 의존하는 하미르토니안으로 일반화될 수 있으며, 복잡도의 상충관계는 어떠한가?
• RQ4 클록 큐비트 수가 증가함에 따라 이산 클록 구축법의 수렴 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 제안된 방법은 오차 스케일링과 자원 복잡도 측면에서 기존의 시간에 의존하는 시뮬레이션 알고리즘을 능가할 수 있는가?

주요 결과

• 이산 클록 구축법은 표준 시간에 의존하지 않는 방법을 사용하여 시간에 의존하는 하미르토니안을 시뮬레이션할 수 있으며, 클록 큐비트 수가 증가함에 따라 오차가 사라진다.
• 이 방법은 시뮬레이션 시간과 시스템 크기에서 다항로그형 오차 스케일링을 달성하여, 표준 제품공식에서의 초다항오차 스케일링보다 크게 향상된다.
• 클록 프레임워크 내에서 적용된 다중제품공식(MPFs)은 교환자 스케일링을 보여주며, 하미르토니안 항들이 서로 교환 가능할 경우 오차가 사라지므로, 표준 제품공식에 비해 초다항적 이점이 있다.
• 수치적 결과는 이론적으로 예측된 바와 같이 알고리즘이 물리적으로 관련 있는 시스템에서 최소한 동일한 성능을 보임을 확인하여 이론적 오차 경계의 타당성을 검증한다.
• 큐비트라이제이션은 시간에 의존하는 하미르토니안으로 일반화될 수 있지만, 하미르토니안의 두 번째 도함수가 충분히 작을 경우에만 가능하여 실용성은 약한 시간에 의존하는 경우에 국한된다.
• 스펙트럴 노름과 $L^1$-노름 분석은 오차에 대한 엄밀한 경계를 제공하여, 이 방법의 시스템적 향상 가능성과 확장 가능성을 보장한다.