[논문 리뷰] Time-dependent product-form Poisson distributions for reaction networks with higher order complexes

David F. Anderson, David Schnoerr외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 25.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초기 분포가 포아송 분포의 곱인 경우, 고차 복합체를 가진 확률적 반응 네트워크의 시간에 따라 변하는 분포가 항상 포아송 분포의 곱으로 유지되도록 보장하는 필수 및 필요조건—동적 및 제한된 복합체 균형(DR)—을 수립한다. 이 결과는 고전적 곱형태 정적 분포를 시간에 따라 변하는 평균 벡터가 만족하는 결정론적 질량작용 법칙을 통해 일시적 영역으로 확장한다.

ABSTRACT

It is well known that stochastically modeled reaction networks that are complex balanced admit a stationary distribution that is a product of Poisson distributions. In this paper, we consider the following related question: supposing that the initial distribution of a stochastically modeled reaction network is a product of Poissons, under what conditions will the distribution remain a product of Poissons for all time? By drawing inspiration from Crispin Gardiner's "Poisson representation" for the solution to the chemical master equation, we provide a necessary and sufficient condition for such a product-form distribution to hold for all time. Interestingly, the condition is a dynamical "complex-balancing" for only those complexes that have multiplicity greater than or equal to two (i.e. the higher order complexes that yield non-linear terms to the dynamics). We term this new condition the "dynamical and restricted complex balance" condition (DR for short).

연구 동기 및 목표

• 초기 조건이 그러한 경우에 시간에 따라 변하는 분포가 포아송 분포의 곱으로 유지되는 조건을 규명하는 것.
• 고전적 곱형태 정적 분포 결과(포아송 분포의 곱)를 정적 상태가 아닌 일시적, 시간에 따라 변하는 영역으로 확장하는 것.
• 곱형태의 구조를 유지하는 평균 벡터 c(t)의 동역학을 규명하는 것.
• 가르디너의 포아송 표현을 고차 복합체를 가진 네트워크로 일반화하는 것.
• 정적 상태가 아닌 동적 상황에서도 곱형태 포아송 분포가 유지되는 필수 및 필요조건을 수립하는 것.

제안 방법

• 두 개 이상의 차수를 가진 복합체에만 적용되는 동적 및 제한된(DR) 복합체 균형 조건을 도입한다.
• 가르디너의 포아송 표현을 사용하여 화학적 마스터 방정식의 시간에 따라 변하는 해를 유도한다.
• 콜모고로프 전진 방정식에서 계수를 일치시켜 시간에 따라 변하는 분포가 포아송 분포의 곱으로 유지되기 위한 필요 및 충분조건을 유도한다.
• 다항식 독립성 논증을 활용하여 DR 조건이 필수 및 충분조건임을 증명한다.
• 시간에 따라 변하는 평균 벡터 c(t)가 결정론적 질량작용 법칙의 미분방정식을 만족함을 보여, 곱형태의 구조가 유지됨을 보장한다.
• 마스터 방정식에서 계수 일치를 통해 DR 조건과 곱형태의 유지 간의 동치성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 조건이 그러한 경우, 고차 복합체를 가진 확률적 모델링 반응 네트워크에서 시간에 따라 변하는 분포가 항상 곱형태의 포아송 분포를 유지하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형(고차) 복합체를 포함하는 네트워크일지라도 반응 네트워크의 시간에 따라 변하는 분포가 여전히 포아송 분포의 곱으로 유지될 수 있는가?
• RQ3 네트워크의 구조와 동역학에 대해 곱형태가 동적으로 유지되기 위한 필수 및 충분조건은 무엇인가? 이는 정적 상태에서만 성립하는 것이 아니라 동적 상황에서도 성립해야 한다.
• RQ4 시간에 따라 변하는 평균 벡터 c(t)는 곱형태를 유지하는 데 있어 결정론적 질량작용 역학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 고차 복합체를 가진 네트워크로 일반화된 가르디너의 포아송 표현은 곱형태의 구조를 유지하는가?

주요 결과

• 시간에 따라 변하는 분포가 포아송 분포의 곱으로 유지되기 위한 필수 및 충분조건은 두 개 이상의 차수를 가진 복합체에만 적용되는 동적 및 제한된(DR) 복합체 균형 조건이다.
• 곱형태를 유지하는 시간에 따라 변하는 평균 벡터 c(t)는 초기 조건 c(0) = c̃를 만족하는 결정론적 질량작용 법칙의 미분방정식의 해이다.
• DR 조건은 콜모고로프 전진 방정식에서 계수 일치 조건이 모든 x에 대해 성립하도록 보장하며, 이로 인해 곱형태의 구조가 유지된다.
• 이진 및 고차 복합체와 관련된 함수 f_i(x) = g_{x,c}(z_i)는 선형 독립적이며, 이는 DR 조건의 필수성 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• 영차수 및 일차 복합체만을 포함하는 네트워크의 경우, DR 조건는 고전적 복합체 균형으로 축소되며, 가르디너의 기존 결과를 복원한다.
• 증명은 다항식 차수 분석에 기반하여, 계수 합이 0이 되는 것은 고차 복합체에 대해 DR 조건가 반드시 성립해야 한다는 것을 보여준다.