[논문 리뷰] Time-dependent variational principle with controlled bond expansion for matrix product states

Jheng-Wei Li, Andreas Gleis외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 23.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 92인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 변분 원리(TDVP) 내에서 행렬 곱 상태(MPS)에 대한 제어된 결합 확장(CBE)을 도입하여 시간 진동 중에 투사 오차를 줄이면서도 일사이트 TDVP의 효율성과 안정성을 유지하는 동적 결합 차원 적응 기법을 제안한다. CBE–TDVP는 거의 일사이트 계산 비용으로 이석 TDVP 수준의 정확도를 달성하여 오차 성장이 통제되는 장시간에 걸친 양자 동역학 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We present a controlled bond expansion (CBE) approach to simulate quantum dynamics based on the time-dependent variational principle (TDVP) for matrix product states. Our method alleviates the numerical difficulties of the standard, fixed-rank one-site TDVP integrator by increasing bond dimensions on the fly to reduce the projection error. This is achieved in an economical, local fashion, requiring only minor modifications of standard one-site TDVP implementations. We illustrate the performance of CBE--TDVP with several numerical examples on finite quantum lattices.

연구 동기 및 목표

• 표준 일사이트 TDVP(1TDVP)의 고정 랭크 제약를 해결하기 위해, 시간 진동 중에 얽힘의 증가를 추적할 수 없음을 해결한다.
• 1TDVP의 수치적 안정성, 유니타리성, 에너지 보존을 유지하면서 정확도를 향상시키는 랭크 적응형 통합기 개발.
• 2TDVP 수준의 정확도를 일사이트 계산 비용과 유사하게 달성하면서도 전통적인 적응 기법의 높은 오버헤드를 피한다.
• 국소적이고 경제적인 방법으로 MPS의 결합 차원을 동적으로 확장하여 TDVP 투사 오차를 통제한다.

제안 방법

• 1TDVP가 간과하는 중요도가 높은 하위공간을 식별하고 추가함으로써 투사 오차를 감소시키기 위해 제어된 결합 확장(CBE)을 도입한다.
• 표준 1TDVP 알고리즘을 수정하여 CBE 기반 확장 방식을 활용해 결합 차원을 실시간으로 증가시킨다.
• 동적으로 조정된 결합 차원을 사용하여 $H\Psi(t)$ 를 MPS 다양체 위로 투사하는 탄성공간 프로젝터 $\mathcal{P}^{1\mathrm{s}}(t)$ 를 적용한다.
• CBE 기반으로 잘린 보완 $\widetilde{A}^{\mathrm{tr}}_{\ell}$ 를 계산하여 현재 MPS 탄성공간과 수직인 $H\Psi$ 의 성분을 포착한다.
• 표준 1TDVP 코드에 대한 수정이 최소한으로 필요한 국소적이고 경제적인 방식으로 방법을 구현한다.
• 효율 해밀토니안의 특이값에 대한 임계값 $\widetilde{\epsilon}$ 을 통해 결합 확장을 제어하여 오차가 유한하게 유지되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1TDVP 시간 진동 중에 결합 차원을 적응적으로 증가시켜 투사 오차를 줄일 수 있는가? 이때 계산 효율성은 손상되지 않는가?
• RQ2 CBE–TDVP는 1TDVP의 유니타리 진동과 에너지 보존을 유지하면서도 2TDVP 수준의 정확도를 달성하는가?
• RQ3 장시간에 걸쳐 CBE–TDVP의 오차는 어떻게 변화하며, 동적 결합 증가에도 불구하고 통제 가능한가?
• RQ4 CBE–TDVP의 계산 비용은 2TDVP 대비 어떻게 되며, 시스템 크기와 물리적 차원 $d$ 에 따라 선형적으로 증가하는가?
• RQ5 1TDVP의 고정 랭크 제약로 인해 포착하지 못하는 대칭성이 깨진 初기 상태(예: 도메인 월)를 CBE–TDVP가 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• 장시간에 걸쳐 허수 오차 $\delta F(\bar{t})$ 가 $6.7 \times 10^{-5}$ 수준에서 평탄선을 이룬다. 이는 오차가 통제되고 누적되지 않음을 의미한다.
• 상대적으로 큰 확장 임계값 $\widetilde{\epsilon} = 10^{-2}$ 인 경우에도 오차는 유한하게 유지되며 급격히 증가하지 않아 강건성을 입증한다.
• $D_{\mathrm{max}} = 120$ 일 때 허수 오차는 $6.7 \times 10^{-5}$ 수준에서 평탄선을 이루며, $D_{\mathrm{max}}$ 를 무한대까지 늘려도 이 값은 다소 감소할 뿐이다.
• 도메인 월 초기 상태에서 CBE–TDVP는 1TDVP를 뛰어넘는 성능을 보인다. 1TDVP는 완전히 실패하여 허수가 0으로 떨어지지만, CBE–TDVP는 높은 허수를 유지한다.
• 2TDVP 대비 CPU 시간을 수개의 주기로 감소시켰다: 동일한 정확도를 확보하기 위해 CBE–TDVP는 하루가 채 안 되어 1.5 시간 단위를 처리할 수 있었고, 2TDVP는 동일한 정확도를 확보하기 위해 이틀이 걸렸다.
• CBE–TDVP의 결합 차원 증가는 느리고 지수적 증가보다는 하위지수적 성장을 보이며, 2TDVP에서 관찰되는 급격한 포화 현상과는 달리 상당한 비용 절감 효과를 낳는다.