[논문 리뷰] Time-domain response of nabla discrete fractional order systems

Yiheng Wei, Qing Gao외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 29.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 N-변환과 이산 미타그레플러 함수를 사용하여 초기 조건이 0이 아닌 내브라 이산 분수형 시스템의 시간 영역 응답의 존재성과 유일성을 확립한다. 명시적 해석적 해를 유도하고, 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 분수형 차수와 매개변수에서 검증된, 입력이 없는 응답의 동역학적 특성(수렴성, 단조성, 오버슈트 행동)을 체계적으로 분석한다.

ABSTRACT

This paper investigates the time--domain response of nabla discrete fractional order systems by exploring several useful properties of the nabla discrete Laplace transform and the discrete Mittag--Leffler function. In particular, we establish two fundamental properties of a nabla discrete fractional order system with nonzero initial instant: i) the existence and uniqueness of the system time--domain response; and ii) the dynamic behavior of the zero input response. Finally, one numerical example is provided to show the validity of the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 초기 조건이 0이 아닌 내브라 이산 분수형 시스템에 대한 시간 영역 응답에 대한 체계적인 분석 부족을 해결하기 위해.
• 내브라 이산 라플라스 변환과 이산 미타그레플러 함수의 기본 성질을 수립하기 위해.
• N-변환 프레임워크를 사용하여 시스템 응답의 명시적 해석적 해를 도출하기 위해.
• 수렴성, 단조성, 오버슈트와 같은 동역학적 특성의 입력이 없는 응답에서 조사하기 위해.
• 다양한 분수형 차수와 시스템 매개변수에서 이론적 결과를 수치 시뮬레이션을 통해 검증하기 위해.

제안 방법

• 분수형 시스템의 시간 영역 응답을 분석하기 위해 N-변환(내브라 이산 라플라스 변환)을 사용한다.
• 이산 미타그레플러 함수를 시스템의 해석적 해를 표현하는 핵심 구성 요소로 활용한다.
• 이산 미타그레플러 함수의 준군 성질을 적용하여 스칼라 분수 차분 방정식의 명시적 해를 유도한다.
• 복소 평면상의 임계 원에 대한 고유값의 위치를 분석하여 안정성 및 동역학적 행동 조건을 유도한다.
• 분수형 차수 α ∈ (0,2]와 매개변수 λ, b₀, b₁를 변화시켜 이론적 예측을 검증하기 위한 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 주파수 영역 표현으로부터 시간 영역 신호를 재구성하기 위해 역 N-변환을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 조건이 0이 아닌 내브라 이산 분수형 시스템의 시간 영역 응답이 존재하고 유일하게 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 분수형 차수 α와 시스템 매개변수에 따라 입력이 없는 응답의 동역학적 특성(수렴 속도, 오버슈트, 진동)은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 고유값 λ의 위치와 시스템 응답의 안정성 또는 진동 행동 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 초기 조건과 시스템 매개변수의 선택이 시스템의 일시적 응답에서 단조성과 오버슈트에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이산 미타그레플러 함수를 통해 표현된 해석적 해는 수치 시뮬레이션을 통해 효과적으로 계산되고 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 초기 조건이 0이 아닌 내브라 이산 분수형 시스템의 시간 영역 응답은 N-변환과 이산 미타그레플러 함수의 성질을 통해 존재하고 유일함을 입증하였다.
• α ∈ (0,1]일 경우, 수렴 속도는 α가 증가함에 따라 증가하며, 응답은 느리게 수렴하여 연속 시간 분수형 시스템과 유사하다.
• α ∈ [1,2]일 경우, α가 증가함에 따라 상승 시간이 길어지고 오버슈트가 증가하며, α가 증가할수록 진동이 더 두드러지게 된다.
• λ < 0일 경우, |λ|를 증가시키면 수렴이 빨라지고 오버슈트가 감소하며, |λ| = 2^α cos^α(π/α)일 때는 지속적인 진동을 나타낸다.
• α ∈ (1, 1.7)일 경우, b₁/b₀ ∈ [1,9]이면 오버슈트가 없음을 보여주며, 매개변수 조정 하에 비진동 행동에 대한 잠재적 임계 값 α_c 가 존재함을 시사한다.
• 이론적 분석과 시뮬레이션은 이산 미타그레플러 함수가 다양한 매개변수 영역에서 시스템의 일시적 동역학을 정확하게 기술함을 확인한다.