[논문 리뷰] Time-Fractional Allen-Cahn Equations: Analysis and Numerical Methods

Qiang Du, Jiang Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 43인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 순서 $\alpha \in (0,1)$인 캡토 분수도 도함수를 갖는 시간 분수도 앨런-클로우 방정식을 연구하며, 조건 없는 안정성과 함께 잘 정의됨, 최대 원리, 그리고 최적의 $O(\tau^\alpha)$ 수렴 속도를 확보한다. 이는 이산 에너지 소산을 증명하고, 최대 $L^p$ 정규성과 분수도 그뢰날랄 부등식을 사용하여 추가적인 정규성 가정 없이 수렴을 확보한다.

ABSTRACT

In this work, we consider a time-fractional Allen-Cahn equation, where the conventional first order time derivative is replaced by a Caputo fractional derivative with order $α\in(0,1)$. First, the well-posedness and (limited) smoothing property are systematically analyzed, by using the maximal $L^p$ regularity of fractional evolution equations and the fractional Grönwall's inequality. We also show the maximum principle like their conventional local-in-time counterpart. Precisely, the time-fractional equation preserves the property that the solution only takes value between the wells of the double-well potential when the initial data does the same. Second, after discretizing the fractional derivative by backward Euler convolution quadrature, we develop several unconditionally solvable and stable time stepping schemes, i.e., convex splitting scheme, weighted convex splitting scheme and linear weighted stabilized scheme. Meanwhile, we study the discrete energy dissipation property (in a weighted average sense), which is important for gradient flow type models, for the two weighted schemes. Finally, by using a discrete version of fractional Grönwall's inequality and maximal $\ell^p$ regularity, we prove that the convergence rates of those time-stepping schemes are $O(τ^α)$ without any extra regularity assumption on the solution. We also present extensive numerical results to support our theoretical findings and to offer new insight on the time-fractional Allen-Cahn dynamics.

연구 동기 및 목표

• 시간 분수도 앨런-클로우 방정식에 대해 잘 정의됨과 해의 정규성을 확립한다.
• 초기 자료가 동일한 조건을 만족할 경우, 이중 우물 잠재력의 범위 내에서 해가 유지되는 최대 원리를 증명한다.
• 이 비국소적인 시간 모델을 위한 조건 없는 안정성과 해법이 가능한 시간 스텝 스킴을 개발한다.
• 두 개의 스킴에 대해 가중 평균 의미에서 이산 에너지 소산을 분석한다.
• 해에 대한 추가 정규성 조건 없이도 $O(\tau^\alpha)$의 날카로운 수렴 속도를 유도한다.

제안 방법

• 분수도 진화 방정식에 대한 최대 $L^p$ 정규성 이론을 활용하여 해의 정규성을 분석한다.
• 분수도 그뢰날랄 부등식을 적용하여 해의 행동을 제어하고 오차 추정을 유도한다.
• 캡토 분수도 도함수를 후진 오일러 컨volution 쿼드레이처를 사용하여 이산화한다.
• 세 가지 시간 스텝 스킴을 제안한다: 볼록 분할, 가중 볼록 분할, 선형 가중 안정화 스킴.
• 이산 형태의 분수도 그뢰날랄 부등식과 최대 $\ell^p$ 정규성을 사용하여 수렴을 증명한다.
• 단계별 이론 결과를 단계별 수치 실험을 통해 검증한다. 상ases 분리 및 군집화 역학을 중심으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 분수도 앨런-클로우 방정식은 최대 원리를 유지하는가? 즉, 초기 자료가 우물의 범위 내에 있다면, 모든 시간에 걸쳐 해도 그 안에 머무르는가?
• RQ2 순서 $\alpha \in (0,1)$인 시간 분수도 앨런-클로우 방정식의 해에 대해 정규성과 잘 정의됨은 어떻게 보장되는가?
• RQ3 이 비국소적인 시간 모델을 위한 조건 없는 안정성과 해법이 가능한 시간 스텝 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 스킴들은 가중 평균 의미에서 이산 에너지 소산을 유지하는가?
• RQ5 시간 스텝 스킴의 수렴 속도는 무엇이며, 해에 대한 추가 정규성 조건 없이 이를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 분수도 앨런-클로우 방정식은 최대 원리를 만족한다: 초기 자료가 이중 우물 잠재력 내에 있다면, 모든 시간에 걸쳐 해도 그 안에 머무른다.
• 해는 제한된 스무딩과 잘 정의됨을 보이며, 최대 $L^p$ 정규성과 분수도 그뢰날랄 부등식을 통해 증명된다.
• 제안된 세 가지 시간 스텝 스킴—볼록 분할, 가중 볼록 분할, 선형 가중 안정화 스킴—은 조건 없는 해법과 안정성을 갖춘다.
• 가중 볼록 분할 스킴과 선형 가중 안정화 스킴은 가중 평균 의미에서 이산 에너지 소산을 유지한다.
• 모든 스킴에 대해 추가 정규성 조건 없이 최적의 수렴 속도 $O(\tau^\alpha)$를 증명하였다.
• 수치 결과는 더 작은 $\alpha$ 값이 군집화 단계를 느리게 하고 역학을 변화시킴을 확인하였으며, 에너지 진동은 분수도 에너지 소산 법칙 $\bar{\partial}^{\alpha}_{\tau}E(u_n) \leq 0$를 따르는 것으로 나타났다.