[논문 리뷰] Time-Frequency analysis via the Fourier Representation

Pushpendra Singh|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 18.

Machine Fault Diagnosis Techniques참고 문헌 18인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 도메인에서 위상의 주파수 도함수로 정의된 '빈도순시시간(frequentaneous time)'이라는 새로운 개념을 소개한다. 이는 순순시 주파수(instantaneous frequency)의 이중 개념이다. 이 개념을 활용하여 저자들은 푸리에 변환으로부터 직접 시간 국소화된 신호 성분을 복원하는 시간-주파수 분포(TFD-FT)를 제안한다. 이는 비정상적이고 비선형적인 맥락에서 기존의 IF 기반 방법보다 더 정확하게 주파수 국소화된 신호를 표현하는 데 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

The nonstationary nature of signals and nonlinear systems require the time-frequency representation. In time-domain signal, frequency information is derived from the phase of the Gabor's analytic signal which is practically obtained by the inverse Fourier transform. This study presents time-frequency analysis by the Fourier transform which maps the time-domain signal into the frequency-domain. In this study, we derive the time information from the phase of the frequency-domain signal and obtain the time-frequency representation. In order to obtain the time information in Fourier domain, we define the concept of `frequentaneous time' which is frequency derivative of phase. This is very similar to the group delay, which is also defined as frequency derivative of phase and it provide physical meaning only when it is positive. The frequentaneous time is always positive or negative depending upon whether signal is defined for only positive or negative times, respectively. If a signal is defined for both positive and negative times, then we divide the signal into two parts, signal for positive times and signal for negative times. The proposed frequentaneous time and Fourier transform based time-frequency distribution contains only those frequencies which are present in the Fourier spectrum. Simulations and numerical results, on many simulated as well as read data, demonstrate the efficacy of the proposed method for the time-frequency analysis of a signal.

연구 동기 및 목표

• 비정상적이고 비선형적인 신호에서 순순시 주파수(IF)의 물리적 의미가 상실되는 문제(위상의 시간 도함수가 음수일 경우)를 해결하기 위해.
• 모노컴포넌트, 멀티컴포넌트, 낙폭, 넓은 대역, 정상, 비정상적 신호를 포함한 모든 유형의 신호에 대해 유효한 시간-주파수 표현(TFR)을 개발하기 위해.
• 순순시 주파수의 이중 개념으로서, 푸리에 도메인에서 위상의 주파수 도함수로 정의된 '빈도순시시간'을 제안하여 주파수 스펙트럼으로부터 시간 정보를 추출할 수 있도록 하기 위해.
• 제안된 TFD-FT 방법이 진정한 푸리에 주파수를 유지하고, IF 기반 방법보다 더 정확한 시간-주파수-에너지(TFE) 분포를 제공함을 입증하기 위해.
• 합성 및 실세계 신호(지진 데이터 포함)에 대해 방법을 검증하여 주파수 국소화된 신호 표현에서 뛰어난 성능을 보임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 빈도순시시간(τ(f))을 위상 스펙트럼의 주파수에 대한 도함수로 정의한다: τ(f) = dφ(f)/df. 이는 군 지연과 유사하지만, 부호에 관계없이 적용 가능하다.
• 시간 도메인 신호 x[n]를 푸리에 변환을 통해 주파수 도메인 신호 X(f)로 매핑하여 모든 스펙트럼 성분을 유지한다.
• X(f)의 위상에서 빈도순시시간을 통해 시간 국소화 정보를 추출하여 3차원 시간-주파수 분포를 재구성할 수 있다.
• 비분해 및 분해된 신호(예: 1 Hz 대역으로 분해)에 모두 적용하여 복잡한 신호에서 해상도와 해석 가능성 향상을 도모한다.
• τ(f), f, X(f)를 사용하여 시간-주파수-에너지(TFE) 분포를 구성하며, 푸리에 스펙트럼에 존재하는 주파수들만 포함되도록 보장한다.
• 제안된 TFD-FT를 기존의 TFD-IF(역푸리에 변환과 IF 기반)와 비교하여 신호 국소화 및 스펙트럼 정확도 측면에서 성능 평가를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유형의 신호에 대해 시간 국소화된 신호 표현이 가능한, 순순시 주파수의 이중 개념으로서 푸리에 도메인에서 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 TFD-FT 방법은 주파수에 국한된 신호와 시간에 국한된 신호를 표현할 때 IF 기반 TFD-IF와 비교해 어떤 성능을 보이는가?
• RQ3 빈도순시시간 개념은 양의 및 음의 시간 간격을 포함한 모든 신호에 대해 유효하고 물리적으로 의미 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 에너지가 여러 가지 파형 유형으로 분포하는 지진 데이터와 같은 비정상적이고 비선형적 신호를 정확하게 표현할 수 있는가?
• RQ5 TFD-FT 방법은 IF 기반 접근 방식과 달리 진정한 푸리에 스펙트럼을 유지하고 주파수 평균화를 피할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 TFD-FT 방법은 100 Hz 정현파와 같이 특정 주파수에 에너지가 집중된 신호를 정확한 시간-주파수 국소화로 성공적으로 표현하며, TFD-IF는 시간 평균화된 아티팩트를 보여준다.
• 두 정현파(100 Hz 및 200 Hz)의 합에 대해서는 TFD-FT가 두 주파수 모두에 에너지를 정확히 표시하지만, TFD-IF는 주파수 평균화로 인해 평균 주파수(150 Hz)에 집중된 에너지를 보여준다.
• 엘센트로 지진 데이터에서는 TFD-FT와 1 Hz 분해를 적용한 TFD-IF를 통해 최대 에너지가 1.7 Hz 및 2초에 집중되어 있음을 확인하였으며, 주파수와 진폭에 따라 P파, S파 등 서로 다른 파형이 식별 가능했다.
• TFD-FT 방법은 진정한 푸리에 스펙트럼을 유지하여 시간에 대해 통합한 마진 스펙트럼이 표준 푸리에 기반 파wer 스펙트럼 밀도(PSD)와 일치함을 보장한다. 이는 IF 기반 방법과의 주요 차이점이다.
• 빈도순시시간 개념은 위상의 시간 도함수가 음수인 경우를 포함한 모든 유형의 신호에 대해 유효하며, 전통적 순순시 주파수의 근본적인 한계를 극복한다.
• 시뮬레이션 결과, 신호가 주파수에 국한되어 있을 경우 TFD-FT가 TFD-IF를 능가함을 확인하였고, 반대로 신호가 시간에 국한되어 있을 경우 TFD-IF가 더 우수한 성능을 보임을 확인하여 두 접근 방식의 상호보완적 강점을 입증하였다.